Репер (математика)

Репе́р (фр. repère — «знак», «початкова точка») — сукупність точки (початку координат) і впорядкованого набору з n лінійно незалежних векторів (тобто базису) в n-мірному афінному просторі.

Іноді термін «репер» використовується також як синонім терміна «базис» (тобто початок координат опускається).

У диференціальній геометрії репером називають сукупність точки многовиду, та базису дотичного простору у цій точці.

Многовиди реперів

Нехай ${\displaystyle \mathbb {E} ^{N}}$ є ${\displaystyle N-}$вимірний евклідів простір (афінний простір без виділеного початку координат, наділений інваріантним відносно зсувів скалярним добутком). Під репером ${\displaystyle (x;e_{1},...,e_{N})}$ розуміється радіус-вектор ${\displaystyle x\in \mathbb {E} ^{N}}$ та ортонормований базис ${\displaystyle e_{1},...,e_{N}\in T_{x}(\mathbb {E} ^{N}).}$ Множина усіх реперів утворює многовид ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\mathbb {E} ^{N}),}$ який після вибору базисного репера (тобто ізоморфізму ${\displaystyle \mathbb {E} ^{N}\cong \mathbb {R} ^{N}}$) можна ототожнити із групою ${\displaystyle E(N)}$ евклідових рухів: радіус-вектор ${\displaystyle x}$ задає зсув, а обертання таке, що воно переводить координатний репер в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$у репер ${\displaystyle e_{1},...,e_{N}.}$

Якщо зафіксований який-небудь початок координат ${\displaystyle 0\in \mathbb {E} ^{N},}$ то множина усіх реперів у ${\displaystyle T_{0}(\mathbb {E} ^{N})}$ буде позначатися через ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}(\mathbb {E} ^{N}).}$ Зрозуміло, що вибір базисного репера дозволяє ототожнити множину ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{0}(\mathbb {E} ^{N})}$ із ортогональною групою ${\displaystyle O(N).}$

Пов'язані визначення

• Множина всіх реперів на многовиді має природну гладку структуру і розшаровується над вихідним многовидом. Це розшарування називається розшаруванням реперів, а його перерізи називаються поле реперів. Нерідко термін «репер» означає саме поле реперів.
• Розшарування реперів на многовиді ${\displaystyle M}$ зазвичай позначається ${\displaystyle FM}$.

• Поле реперів ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ карті ${\displaystyle x^{i}}$ називається голономним або координатним полем реперів.

Варіації та узагальнення

• ${\displaystyle k}$-репер у многовиді — сукупність точки многовиду і ${\displaystyle k}$ лінійно незалежних векторів дотичного простору в цій точці.
• репер — сукупність точки (початку координат) і впорядкованого набору з ${\displaystyle n}$ лінійно незалежних векторів (тобто базису) в ${\displaystyle n}$-мірному афінному просторі.
• Іноді термін «репер» використовується також як синонім терміна «базис» (то згадка про початок координат опускається).

Історія

Перше систематичне дослідження диференціальної геометрії з використанням полів реперів, відмінних від координатних, зокрема, з використанням ортогональних реперів, належить Картану, отримало таким способом багато фундаментальних результатів, які зробили серйозний вплив на геометрію і теоретичну фізику.

Література

• Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
• Картан Э. Ж. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. -M.-Л.: Гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, [1930]1933
• Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. -М.: изд-во МГУ, [1930]1963
• Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление.