PROFILBARU.COM

	Квадратні трикутні числа
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
	Квадратні трикутні числа у Вікісховищі

Про квадрати трикутних чисел, див. квадрат трикутного числа.

Квадратне трикутне число 36 зображене як трикутне число та як квадратне числоd.

У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) — число, яке одночасно є трикутним числом і ідеальним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 послідовність A001110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Детальні формули

Якщо позначити $N k$ для $k$ -го квадратного трикутного числа, а $s k$ і $t k$ прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.

Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа $N = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}n(n + 1)/2$ як $n$ . З цього визначення та квадратичної формули,

n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.

Тому, $N$ є трикутним числом (для цілого $n$ ) тоді й лише тоді, коли $8 N + 1$ є квадратом. Відповідно, квадратне число $M 2$ є трикутним числом тоді й лише тоді, коли $8 M 2 + 1$ є квадратом, тобто, коли існують числа $x$ і $y$ , для яких $x 2 - 8 y 2 = 1$ . Це є випадком рівняння Пелля для $n = 8$ . Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення $x = 1, y = 0$ для будь-якого $n$ ; це також називається нульовим рішенням, та індексується як $(x 0, y 0) = (1,0)$ . Якщо $(x k, y k)$ позначає $k$ -те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного $n$ , воно може бути зображено методом спуска, тобто

{\begin{aligned}x_{k+1}&=2x_{k}x_{1}-x_{k-1},\\y_{k+1}&=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}.\end{aligned}}

Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого $n$ , яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для $n = 8$ легко знайти: це (3,1). Рішення $(x k, y k)$ для рівняння Пелля для $n = 8$ дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:

s_{k}=y_{k},\quad t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},\quad N_{k}=y_{k}^{2}.

Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), є 36.

Послідовності $N k$ , $s k$ і $t k$ є відповідно послідовностями OEIS A001110, A001109 і A001108.

Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу^[1]^[2]^:12–13

N_{k}=\left({\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}.

Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають

{\begin{aligned}N_{k}&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2k}-\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2k}\right)^{2}\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{4k}-2+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{4k}\right)\\&={\tfrac {1}{32}}\left(\left(17+12{\sqrt {2}}\right)^{k}-2+\left(17-12{\sqrt {2}}\right)^{k}\right).\end{aligned}}

Відповідні детальні формули для $s k$ і $t k$ є наступними:^[2]^:13

{\begin{aligned}s_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}-\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}}{4{\sqrt {2}}}},\\t_{k}&={\frac {\left(3+2{\sqrt {2}}\right)^{k}+\left(3-2{\sqrt {2}}\right)^{k}-2}{4}}.\end{aligned}}

Рівняння Пелля

Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.^[3]

Кожне трикутне число має форму $t (t + 1) / 2$ , тому потрібно шукати такі цілі числа $t$ , $s$ , що

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}.

Трансформуючи, отримуємо

\left(2t+1\right)^{2}=8s^{2}+1,

а тоді, підставляючи $x = 2 t + 1$ і $y = 2 s$ , отримуємо Діофантове рівняння

x^{2}-2y^{2}=1,

яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується числом Пелля $P k$ , а саме^[4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k};

а тому всі рішення можна записати як

s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}.

Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.

Рекурентні співвідношення

Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо^[5]^:(12)

{\begin{aligned}N_{k}&=34N_{k-1}-N_{k-2}+2,&{\text{де }}N_{0}&=0{\text{ і }}N_{1}=1;\\N_{k}&=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2},&{\text{де }}N_{0}&=0{\text{ і }}N_{1}=1.\end{aligned}}

Маємо^[1]^[2]^:13

{\begin{aligned}s_{k}&=6s_{k-1}-s_{k-2},&{\text{де }}s_{0}&=0{\text{ і }}s_{1}=1;\\t_{k}&=6t_{k-1}-t_{k-2}+2,&{\text{де }}t_{0}&=0{\text{ і }}t_{1}=1.\end{aligned}}

Інші характеристики

Всі квадратні трикутні числа мають форму $b 2 c 2$ , де $b / c$ є наближенням до ланцюгового дробу для √2.^[6]

А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:^[7]

Якщо $n$ -не трикутне число $n (n + 1) / 2$ є квадратним, то і більше $4 n (n + 1)$ -не трикутне число є таким, оскільки:

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=4\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,\left(2n+1\right)^{2}.

Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, $n (n + 1) / 2$ (початкове квадратне трикутне число) та $(2 n + 1) 2$ .

Трикутні корені $t k$ є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо $k$ є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо $k$ непарним числом. Так,

49 = 7² = 2 × 5² − 1,

288 = 17² − 1 = 2 × 12², і

1681 = 41² = 2 × 29² − 1.

У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають $s k$ : 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, і 29 × 41 = 1189.^{[джерело?]}

Додатково:

N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1};

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, and 41616 − 1225 = 40391. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.^{[джерело?]}

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:^[8]

{\frac {1+z}{(1-z)\left(z^{2}-34z+1\right)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots

Числові дані

По мірі зростання $k$ , співвідношення $t k / s k$ наближається до √2 ≈ 1.41421356, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається (1 + √2)⁴ = 17 + 12√2 ≈ 33.970562748. Таблиця нижче дає значення $k$ між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до 10¹⁶.

$k$	$N k$	$s k$	$t k$	$t k / s k$	$N k / N k - 1$
0	0	0	0	$t k / s k$
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1.33333333	36
3	1225	35	49	1.4	34.027777778
4	41616	204	288	1.41176471	33.972244898
5	1413721	1189	1681	1.41379310	33.970612265
6	48024900	6930	9800	1.41414141	33.970564206
7	1631432881	40391	57121	1.41420118	33.970562791
8	55420693056	235416	332928	1.41421144	33.970562750
9	1882672131025	1372105	1940449	1.41421320	33.970562749
10	63955431761796	7997214	11309768	1.41421350	33.970562748
11	2172602007770041	46611179	65918161	1.41421355	33.970562748

Див. також

Задача про гарматні кулі, про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними
Шостий степінь, числа, які є одночасно квадратними та кубічними
Квадратне число
Центроване квадратне число

Примітки

↑ ^а ^б Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. Т. 2. Providence: American Mathematical Society. с. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
↑ ^а ^б ^в Euler, Leonhard (1813). Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Легке правило для Діофантових рівнянь, які швидко вирішуються цілими числами). Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (латинська) . 4: 3—17. Архів оригіналу за 22 Жовтня 2013. Процитовано 11 травня 2009. Згідно з записами, воно було презентовано Санкт-Петербурзькій Академії 4 травня 1778 р.
↑ Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. с. 16—17. ISBN 978-0-387-95529-2. Архів оригіналу за 7 Квітня 2017. Процитовано 10 травня 2009.
↑ Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (вид. 5th). Oxford University Press. с. 210. ISBN 0-19-853171-0. Теорема 244
↑ Weisstein, Eric W. Square Triangular Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
↑ Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. с. 59. ISBN 978-0-486-25357-2.
↑ Pietenpol, J. L.; Sylwester, A. V.; Just, Erwin; Warten, R. M. (February 1962). Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 69 (2): 168—169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
↑ Plouffe, Simon (August 1992). 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. с. A.129. Архів оригіналу (PDF) за 6 Лютого 2013. Процитовано 11 травня 2009.