Рівняння Пелля

Рівняння Пелля — діофантове рівняння вигляду:

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1,\,}$

де ${\displaystyle n}$ — додатне ціле число, що не є точним квадратом цілого числа. Рівняння Пелля є класом діофантових рівнянь другого степеня.

Доведено, що при кожному такому значенні ${\displaystyle n}$ рівняння має задану нескінченну послідовність розв'язків. Одним із застосувань теорії рівняння Пелля є наближення ірраціонального числа ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ раціональними з якомога меншою похибкою.

Розв'язки

Рівняння Пелля для довільного n має пару тривіальних розв'язків ${\displaystyle (\pm 1,0).}$

У випадку коли n не є точним квадратом існує нескінченна кількість розв'язків.

Якщо ${\displaystyle {\frac {p_{i}}{q_{i}}}}$ — наближені дроби розкладу ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ у ланцюговий дріб з періодом k, то додатні розв'язки рівняння Пелля мають вигляд:

${\displaystyle x=p_{km-1},\quad y=q_{km-1}}$

де m — будь-яке натуральне число таке, що km є парним.

Всі додатні розв'язки рівняння Пелля можна одержати з формули:

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}.}$

де k — будь-яке ціле, а (х₁, у₁) — розв'язок з найменшими додатними значеннями невідомих.

Еквівалентно розв'язки можна знайти із рекурентних співвідношень:

${\displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},\,}$

${\displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.\,}$

Зв'язок з алгебраїчною теорією чисел

Пара (x, у) є розв'язком рівняння Пелля тоді і тільки тоді, коли норма числа ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ у розширенні ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$ поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рівна одиниці:

${\displaystyle N(x+y{\sqrt {n}})=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})=x^{2}-ny^{2}.}$

Зокрема, рішенню відповідає оборотний елемент кільця ${\displaystyle Z[{\sqrt {n}}]}$. Тому, зважаючи на мультиплікативність норми, розв'язки можна множити і ділити: розв'язкам ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ і ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ можна поставити у відповідність розв'язки

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}),\quad (x_{1}x_{2}-ny_{1}y_{2},-x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}).}$

Приклад

Для рівняння ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1,\,}$ найменшим додатним розв'язком буде пара чисел ${\displaystyle (3,2)\,}$. Всі додатні розв'язки відповідно можна одержати за допомогою формули:

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {2}}=(3+2{\sqrt {2}})^{k}.}$

Якщо ${\displaystyle (x,y)\,}$ — розв'язки, то розв'язками також будуть числа ${\displaystyle (3x+4y,2x+3y),\,}$ які можна визначити як ${\displaystyle (3,2)\cdot (x,y)}$ згідно з уведеним вище добутком.

Дійсно:

${\displaystyle (3x+4y)^{2}-2(2x+3y)^{2}=(9x^{2}+24xy+16y^{2})-2(4x^{2}+12xy+9y^{2})=x^{2}-2y^{2}\,}$

Література

• Бугаенко В. О. Уравнения Пелля. — Москва: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-96-0
• Barbeau, Edward J. (2003), Pell's Equation, Problem Books in Mathematics, Springer-Verlag, MR1949691, ISBN 0387955291 .