Вулиця виникла наприкінці XIX століття вздовж русла каналу Нова Полтва (інші назви — Корито, Млинський потік), який проходив вздовж нинішніх вулиць Хімічної та Романа Дашкевича. Цей канал становив північну межу міста Львова[6], а за ним починалися землі Замарстинова. У 1929 році отримала назву Короля Яна III, на честь польського короля Яна III Собеського. Біля перехрестя вулиць Замарстинівської, Хімічної та Романа Дашкевича колись була Замарстинівська або ж Голосківська рогатка та мурований міст через канал Нова Полтва[7]. Рішенням уряду Речі Посполитої Другої від 11 квітня1930 року селище включене до юрисдикції міста Львова[8][9][10] та утворено окрему дільницю «VIII. Замарстинів»[11]. Після приєднання до міста вулиця у 1933 році перейменована на Королівську. У 1946—1993 роках мала назву вулиця Комунальна. Сучасна назва походить з 1993 року[12], на честь українського політичного та військового діяча Романа Дашкевича[13].
Забудова
Вулиця Романа Дашкевича є прикладом граничної дороги. Її непарна частина, забудована переважно садибними будиночками межі XIX—XX століть, що до 1930 року належали до Замарстинова[14], а з її парної, південної сторони присутня промислова забудова радянського часу[3].
З непарного боку вулиці
№ 1 — у міжвоєнний період тут містилася фірма Чеховича з виготовлення меблів, нині на цьому місці промислова руїна.
№ 3 — у будинку міститься фотостудія «Fabrik Studio» (вхід у студію від вул. Половинної)[15].
№ 11 — за Польщі містилася фабрика мила Фрюліха, нині цього будинку не існує.
№ 17 — Львівський дошкільний навчальний заклад ясла–садок № 121 Львівської міської ради створено на підставі розпорядження виконкому Львівської міської ради народних депутатів від 20 листопада 1967 року № 634. Навчальний заклад розрахований на 115 місць: шість груп (одна група для дітей раннього віку, та п'ять груп для дітей дошкільного віку)[16].
№ 29 — житловий двоповерховий будинок кінця XIX— початку XX століття. Тривалий час стояв пусткою, хоча й має чотирьох співвласників. 1 липня2020 року стався обвал частини стіни будинку від вул. Янки Купали[17].
№ 33 — житловий двоповерховий будинок кінця XIX— початку XX століття. Тут 1950-х роках містилася майстерня з ремонту взуття[3].
№ 2 за цією адресою у липні 2015 року перший в Україні музей мотоциклів «Ретро Мото Музей»[19]. В колекції налічується понад 50 експонатів повоєнного періоду. На виставці представлена мототехніка як відомих марок («Jawa», «Мінськ», «Восход», «Іж Планета»), так і маловідомих виробників двоколісного транспорту[20]. Окрім мотоциклів, у музеї зібрані ще й велосипеди[19]. Один з найнезвичайніших експонатів — екстравагантний мотобайк, повністю обплетений яскравою пряжею: кожна його деталь, кожен гвинтик, вихлопна труба — все це було «одягнене». Цей в'язаний шедевр має назву «Розбите серце», а автором є львівська майстриня Божена Городницька[21]. Найстарішому експонату вже понад 60 років — військовий мотопричіп, виготовлений 1944 року у Швейцарії[19]. Станом на 2023 рік за цією ж адресою розташовувалися кафе «Корчма», продуктова крамниця та СТО «Газовня»[22].
11 липня2023 року виконавчий комітет Львівської міської ради ухвалив рішення про надання ТзОВ «Річ девелопмент груп» містобудівних умов та обмежень на будівництво на вул. Дашкевича, 2 будівлі змішаного використання з житловими квартирами на верхніх поверхах та розміщенням у нижніх поверхах об'єктів ділового, культурного, обслуговуючого та комерційного призначення[23]. Чотири поверхи будуть над землею, а п'ятий та шостий під землею (підземний паркінг)[24]. У шестиповерхівці передбачено 42 квартири, також 48 паркомісць у дворівневому підземному паркінгу та 36 — наземних[25].
Світлини вуличної забудови
Вулиця Дашкевича біля перехрестя з вулицями Біляшівського та Ткацькою
Стара адресна табличка на розі вулиць Дашкевича та Жовківської
Атлас українських історичних міст / Наук. ред. атласу М. Капраль; Автори: М. Долинська, Ю. Диба, Т. Гринчишин, У. Іваночко, М. Капраль, У. Кришталович, Ю. Лукомський, І. Оконченко, О. Оконченко, В. Петегирич, Б. Посацький, А. Фелонюк, С. Ямелинець. НАН України. Львівське відділення Інституту української археографії та джерелознавства ім. М. С. Грушевського, Науково-дослідний центр «Рятівна археологічна служба» Інституту археології та ін. — Київ : ДнВП «Картографія», 2014. — Т. 1: Львів. — 96 с. — ISBN 978-617-670-430-0.
Громов С. Імена видатних людей у вулицях Львова. — Львів : НВФ «Українські технології», 2001. — С. 43. — ISBN 978-617-629-077-3.