Був головним редактором журналу «Известия АН СРСР. Серия математическая» (1948), голова Національного комітету радянських математиків, головний редактор «Математичної енциклопедії».
Основні роботи присвячені аналітичній теорії чисел; основні результати були отримані завдяки створеному ним методу тригонометричних сум, який став одним з основних підходів до розв'язання задач аналітичної теорії чисел.
На початку отримав значні результати у розв'язанні проблеми Воринга. Зокрема, він довів першу «близьку» оцінку зверху для функції Харді: — найменше таке, що кожне представлене сумою виду . У 1924 році він довів, що:
.
Після численних роз'яснень у 1959 році він довів, що:
1937 року Виноградов довів тернарну гіпотезу Гольдбаха для всіх досить великих чисел (більших за деякі константи). Однак, нижня межа була настільки великою, що перевірити решту чисел у XX столітті не вдавалося навіть за допомогою комп'ютера.
У 1959 році покращив оцінку залишкового члена функції — кількості простих чисел, що не перевищують .
Адміністративно-громадська діяльність
Він мав великий авторитет на кафедрі математики АН СРСР і багато в чому був неформальним керівником радянських математиків.
При цьому він ніколи не був членом КПРС. У 1955 році підписав знаменитий «Лист трьохсот»[12] на підтримку радянських генетиків проти групи Лисенка.
У 1970-х роках в Академії наук СРСР виникла протидія керівництву Виноградова. Говорили про його упередженість у вирішенні кадрових питань, зокрема й звинувачували в антисемітизмі. Виноградов вигнав з МІАНу майже всіх євреїв за кількома винятками[джерело?]. Група анонімних математиків-емігрантів писала, що Виноградов пишався тим, що «очистив» інститут від євреїв. Сергій Новіков у розмові з Мартіном Крускалем у 1979 році, порівняв Виноградова і Понтрягіна, також звинуваченого в антисемітизмі, і заявив: «Виноградов — редкостный мерзавец и человеконенавистник, делает карьеру на антисемитизме с 1940-х годов. Понтрягин вступил в их ряды только в 1968 году, и он крикун, а тот ловок, настоящий дьявол, злодей, пьющий кровь тайно, в темноте».
Виноградову протистояли багато фізиків-теоретиків і деякі академіки інших кафедр. Підтримували його більшість академіків-математиків і керівництво Академії наук СРСР. У 1977 році на загальних зборах АН СРСР обговорювалося питання чергового переобрання Виноградова на посаду директора інституту. У таємному голосуванні близько третини голосів було віддано проти Виноградова. Цього було недостатньо, щоб усунути його, і він залишався на посаді директора до самої смерті.
Меморіальний будинок-музей у Великих Луках (єдиний радянський математик, на честь якого будинок-музей був організований за його життя[джерело?])
До сторіччя від дня його народження була створена Золота медаль імені І.M. Виноградова АН СРСР, пізніше перетворена в премію імені І.M. Виноградова Російської академії наук.
У грудні 1983 року на його честь була названа вулиця в Московському районі Теплого Стана (YUZAO)
На Новодівичому кладовищі на могилі встановлено пам'ятник із бюстом.
Твори
Виноградов І.M. Избранные труды / етв. Ю. В. Лінник. — М., 1952.
Виноградов І.M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. - друге видання — М., 1976.
Виноградов І.M. Метод тригонометрических сумм в простейших вариантах. — М., 1976.
Виноградов І.M. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — Єкатеринбург: Редакційна УРСР, 2004.
Виноградов І.M. Основы теории чисел: Учебное пособие. — 12-е видання — С.П.: Лань, 2009.
