Банахова алгебра

Банахова алгебра — це топологічна алгебра ${\displaystyle A}$ над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює ${\displaystyle A}$ в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.

Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням ${\displaystyle xy=yx\quad \forall x,y\in A.}$

За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо ${\displaystyle \|xy\|\leq C\|x\|\cdot \|y\|\quad \forall x,y\in A,}$ тому норму в ${\displaystyle A}$ можна замінити на еквівалентну, що задовольняє

${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\cdot \|y\|\quad \forall x,y\in A\qquad (*).}$

Банахова алгебра ${\displaystyle A}$ називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент ${\displaystyle 1}$ такий, що ${\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1=x\quad \forall x\in A.}$ Якщо ${\displaystyle A}$ не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру ${\displaystyle A\oplus \mathbb {C} }$ з одиницею і нормою ${\displaystyle ||x+r\cdot 1||=||x||+|r|,}$ що містить алгебру ${\displaystyle A}$ як замкнуту підалгебру. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.

Приклади

1) Нехай ${\displaystyle X}$ — компактний топологічний простір, ${\displaystyle C(X)}$ — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на ${\displaystyle X}$. Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою

${\displaystyle \|f\|=\operatorname {max} \{|f(x)|:{x\in X}\}.}$

2) Простір ${\displaystyle l^{1}}$ послідовностей ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},\ldots ),}$ для яких ${\displaystyle ||x||=\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|<\infty ,}$ з нормою ${\displaystyle ||x||,}$ звичайним додаванням і добутком за формулою

${\displaystyle (xy)_{n}=\sum _{k=0}^{n}x_{k}y_{n-k}.}$

3) Множина ${\displaystyle B(L)}$ всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі ${\displaystyle L}$ утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$.

4) Групова алгебра ${\displaystyle L^{1}(G)}$ локально компактної топологічної групи ${\displaystyle G,}$ де добуток — це згортка функцій на ${\displaystyle G.}$

Спектри

• Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри — непорожній компакт. Для будь-якого компакта ${\displaystyle K}$ спектр ${\displaystyle w(z)=z}$ на ${\displaystyle C(K)}$ збігається з ${\displaystyle K}$, тобто інших обмежень немає.
• Спектральним радіусом ${\displaystyle R}$ елемента ${\displaystyle x}$ називається ${\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}.}$ Для нього існує формула спектрального радіуса ${\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.}$
• Якщо ${\displaystyle \varphi :A\to B}$ -унітальний (переводить одиницю ${\displaystyle A}$ в одиницю ${\displaystyle B}$) гомоморфізм, то для будь-якого ${\displaystyle a\in A}$ виконане ${\displaystyle \sigma _{B}(\varphi (a))\subseteq \sigma _{A}(a)}$. Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується.
• Якщо ${\displaystyle p\in \mathbb {C} [t]}$ — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді ${\displaystyle p(\sigma (a))=\sigma (p(a))}$. Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.

Алгебри з інволюцією та ${\displaystyle C^{*}-}$алгебри

У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення ${\displaystyle A}$ до себе, ${\displaystyle x\mapsto x^{*}.}$

Елемент ${\displaystyle x\in A}$ називається:

• нормальним, якщо ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*};}$
• ермітовим, якщо ${\displaystyle x=x^{*};}$
• унітарним, якщо ${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}=1.}$

Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.

Алгебра ${\displaystyle B(H)}$ обмежених операторів на гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$ являє собою банахову алгебру з інволюцією, де ${\displaystyle T^{*}}$ — це спряжений до оператора ${\displaystyle T}$. Виникає природне питання, чи можна реалізувати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру ${\displaystyle B(H).}$ Це питання було повністю розв'язано І. М. Гельфандом і М. А. Наймарком.

Банахова алгебра з інволюцією ${\displaystyle A}$ називається ${\displaystyle C^{*}-}$алгеброю, якщо виконується тотожність

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|^{2}}$ для всіх ${\displaystyle x\in A.}$

Неважко побачити, що в алгебрі ${\displaystyle B(H)}$ це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка ${\displaystyle C^{*}-}$алгебра ${\displaystyle A}$ допускає точне *-зображення у ${\displaystyle B(H).}$ Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.

І. М. Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна ${\displaystyle C^{*}-}$алгебра з одиницею має вигляд ${\displaystyle C(X)}$ (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір ${\displaystyle X}$ можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри ${\displaystyle A}$, або її максимальні ідеали, ${\displaystyle X=\operatorname {SpecmA} .}$ Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) ${\displaystyle C^{*}-}$алгебру ${\displaystyle A}$ як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі ${\displaystyle ''\operatorname {Spec} A''}$.

Теорія ${\displaystyle C^{*}-}$алгебр використовується в теорії зображень і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха

Література

• Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — 664 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М. : МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М. : Наука, 1989. — ISBN 5-02-014192-5.