Оператор Гільберта — Шмідта — це обмежений оператор
A
{\displaystyle A}
гільбертовому просторі
H
{\displaystyle H}
нормою Гільберта — Шмідта , тобто для якого існує такий ортонормований базис
{
e
i
: : -->
i
∈ ∈ -->
I
}
{\displaystyle \{e_{i}\colon i\in I\}}
H
{\displaystyle H}
∑ ∑ -->
i
∈ ∈ -->
I
‖ ‖ -->
A
e
i
‖ ‖ -->
2
<
∞ ∞ -->
.
{\displaystyle \sum _{i\in I}\|Ae_{i}\|^{2}<\infty .}
[ 1] [ 2] Якщо це виконується в якомусь ортономованому базисі, то це виконується в будь-якому ортонормованому базисі.
Нехай
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Скалярний добуток Гільберта — Шмідта визначається як
⟨ ⟨ -->
A
,
B
⟩ ⟩ -->
H
S
=
tr
A
T
B
=
∑ ∑ -->
i
∈ ∈ -->
I
⟨ ⟨ -->
A
e
i
,
B
e
i
⟩ ⟩ -->
.
{\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathrm {HS} }=\operatorname {tr} \,A^{T}\!B=\sum _{i\in I}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}
де
tr
{\displaystyle \operatorname {tr} }
слід оператора. Індукована таким скалярним добутком норма називається нормою Гільберта — Шмідта :
‖ ‖ -->
A
‖ ‖ -->
H
S
2
=
∑ ∑ -->
i
∈ ∈ -->
I
‖ ‖ -->
A
e
i
‖ ‖ -->
2
.
{\displaystyle \lVert A\rVert _{\mathrm {HS} }^{2}=\sum _{i\in I}\lVert Ae_{i}\rVert ^{2}.}
Це визначення не залежить від вибору ортонормованого базису і аналогічне нормі Фробеніуса для операторів у скінченновимірному векторному просторі .
Оператори Гільберта — Шмідта утворюють двосторонній *-ідеал у банаховій алгебрі обмежених операторів на
H
{\displaystyle H}
нормою на
H
{\displaystyle H}
тоді і тільки тоді , коли
H
{\displaystyle H}
ізоморфний тензорному добутку гільбертових просторів
H
∗ ∗ -->
⊗ ⊗ -->
H
,
{\displaystyle H^{*}\otimes H,}
де
H
∗ ∗ -->
{\displaystyle H^{*}}
спряжений до
H
{\displaystyle H}
[ 3]
Простори
Теореми Оператори Алгебри Проблеми Застосування Узагальнення
