Локально опуклий простір

Локально опуклий простір — лінійний топологічний простір з системою напівнорм, що задовольняє деяким умовам.

Означення

Лінійний топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається локально опуклим простором, якщо існує сімейство напівнорм ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle X}$, що задовольняє двом умовам:

• Якщо ${\displaystyle p(x)=0}$ для кожного ${\displaystyle p\in \mu }$, то ${\displaystyle x=0}$.
• Якщо для довільної точки ${\displaystyle x_{0}}$ простору ${\displaystyle X}$, будь-якої скінченної системи напівнорм ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ з ${\displaystyle \mu }$ і будь-якої скінченної системи додатних дійсних чисел ${\displaystyle \epsilon _{1},...,\epsilon _{n}}$ розглянути (опуклі) множини, що складаються з елементів ${\displaystyle x\in X}$, які відповідають умові ${\displaystyle p_{i}(x-x_{0})<\epsilon _{i}}$ с ${\displaystyle i=1,...,n}$, то всі такі множини утворює базис топології в ${\displaystyle X}$^[1].

Примітки

1. Гаевский, 1978, с. 14.

Література

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М. : Мир, 1978. — 336 с.
• Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Т. 96 (вид. 2nd). Springer. ISBN 0-387-97245-5.
• Rudin, Walter (1991). Functional analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5.