Modus tollens (latin: metod för förnekande) är en förkortad form av modus tollendo tollens, som är en slutledningsregel inom logiken. Regeln kan formellt skrivas:
![{\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb94d8545126bb6194888258fba1624b8d2218c5)
vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.
- Från premissena P→Q och
Q kan således slutsatsen
P dras.
Regeln är relaterad till egenskapen kontraposition av den materiella implikationen, det vill säga att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A, vilken senare sats tillsammans med
B och slutledningsregeln modus ponens ger
A.
Exempel: Från "Om min klocka går rätt, så är tåget försenat" och "Tåget är inte försenat" kan man dra slutsatsen "Min klocka går inte rätt".
Formellt kan regeln även skrivas:
, där
betyder satslogisk konsekvens.
Regeln uttryckt som en tautologi eller som ett teorem i satslogiken skrivs:
![{\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b559ddc683a52deec03549815b5e8e88ee5eddee)
Inom predikatlogik finns följande formulering:
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\forall x:&P(x)\rightarrow Q(x)\\&\exists x:&\neg Q(x)\\\therefore &\exists x:&\neg P(x)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f436bf2ab2e6f77111d00e6ac3605056d62c19d)
Vilket kan utläsas: Allt som uppfyller P uppfyller Q. Det finns ett x som inte uppfyller Q. Alltså finns ett x som inte uppfyller P.
I mängdlära kan det uttryckas som:
![{\displaystyle {\begin{array}{cc}&P\subseteq Q\\&x\notin Q\\\therefore &x\notin P\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30206be4cc18249984b62c2c39b6a4619664f391)
det vill säga, P är en delmängd till Q. x är inte ett element i Q. Alltså är x inte ett element i P.
Källor
- Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
- Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
- Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
- Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Lund 1967.