Bäckström var son till Brita Bäckström och Claes Bielke och växte upp på Lidingö. Han gick på Kungliga konsthögskolan på 1950-talet och satt 21 år i Sveriges författarfond. Bäckström försörjde sig som illustratör och gjorde flera reportage för Svenska Dagbladet. Han skrev två illustrerade självbiografiska böcker: Främmande pojke på besök[3] (1988) och En förtjusande ung man[4] (2002). Claes Bäckström hade regelbundna utställningar och är representerad i flera samlingar.