Параллельные плоскости

Согласно классическому определению, две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем.

Аналитическое определение параллельных плоскостей:

если плоскости ${\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}$ и ${\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}$ параллельны, то нормальные векторы ${\displaystyle N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})}$ и ${\displaystyle N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})}$ коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

${\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}}$^[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Свойства

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

Признак

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Примеры

• Плоскости ${\displaystyle 2x-3y-4z+11=0}$ и ${\displaystyle -4x+6y+8z+36=0}$ параллельны, так как ${\displaystyle {\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}}$.
• Плоскости ${\displaystyle 2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)}$ и ${\displaystyle 4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)}$ непараллельны, так как ${\displaystyle B_{1}=0}$, а ${\displaystyle B_{2}\neq 0}$.

Замечание

Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если ${\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}},}$^[2] то плоскости совпадают. Так уравнения ${\displaystyle 3x+7y+5z+4=0}$ и ${\displaystyle 6x+14y+10z+8=0}$ представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

1. при ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0}$. Если ${\displaystyle A_{1}=0}$, то ${\displaystyle A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}}$. Аналогично при ${\displaystyle B_{1}=0}$ или ${\displaystyle C_{1}=0}$.
2. при ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0}$. Если ${\displaystyle A_{1}=0}$, то ${\displaystyle A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}}$. Аналогично при ${\displaystyle B_{1}=0,C_{1}=0}$ или ${\displaystyle D_{1}=0}$.