Математика в Древней Греции

Данная статья — часть обзора История математики.
Муза геометрии (Лувр)

Понятие древнегре́ческая матема́тика охватывает достижения грекоязычных математиков, живших в период между VI веком до н. э. и V веком н. э.

Математика как наука родилась в Древней Греции[1] [2]. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировал эту же мысль Галилей два тысячелетия спустя: «книга природы написана на языке математики»[3].

Греки проверили справедливость этого тезиса в тех областях, где сумели: астрономия, оптика, музыка, геометрия, позже — механика. Всюду были отмечены впечатляющие успехи: математическая модель обладала неоспоримой предсказательной силой. Одновременно греки создали методологию математики и завершили превращение её из свода полуэвристических алгоритмов в целостную систему знаний. Основой этой системы впервые стал дедуктивный метод, показывающий, как из известных истин выводить новые, причём логика вывода гарантирует истинность новых результатов. Дедуктивный метод также позволяет выявить неочевидные связи между понятиями, научными фактами и областями математики.

Источники

Бо́льшая часть античных сочинений по математике не дошла до наших дней и известна только по упоминаниям позднейших авторов и комментаторов, в первую очередь Паппа Александрийского (III век), Прокла (V век), Симпликия (VI век) и др. Среди сохранившихся трудов в первую очередь следует назвать «Начала» Евклида и отдельные книги Аристотеля, Архимеда, Аполлония и Диофанта.

Начальный период

Вплоть до VI века до н. э. греческая математика ничем не выделялась. Были, как обычно, освоены счёт и измерение. Греческая нумерация (запись чисел), как позже римская, была аддитивной, то есть числовые значения цифр складывались. Первый её вариант (аттическая, или геродианова) содержали буквенные значки для 1, 5, 10, 50, 100 и 1000. Соответственно была устроена и счётная доска (абак) с камешками. Кстати, термин калькуляция (вычисление) происходит от calculus  — камешек. Особый дырявый камешек обозначал нуль.

Позднее (начиная с V века до н. э.) вместо аттической нумерации была принята алфавитная — первые 9 букв греческого алфавита обозначали цифры от 1 до 9, следующие 9 букв — десятки, остальные — сотни. Чтобы не спутать числа и буквы, над числами рисовали чёрточку. Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10000.

В VI веке до н. э. начинается «греческое чудо»: появляются сразу две научные школы — ионийцы (Фалес Милетский, Анаксимен, Анаксимандр) и пифагорейцы. О достижениях ранних греческих математиков мы знаем в основном по упоминаниям позднейших авторов, преимущественно комментаторов Евклида, Платона и Аристотеля.

Фалес, богатый купец, хорошо изучил вавилонскую математику и астрономию — вероятно, во время торговых поездок. Ионийцы, по сообщению Евдема Родосского, дали первые доказательства нескольких простых геометрических теорем — например, о том, что вертикальные углы равны[4]. Однако главная роль в деле создания античной математики принадлежит пифагорейцам.

Пифагорейская школа

Пифагор, основатель школы — личность легендарная, и достоверность дошедших до нас сведений о нём проверить невозможно. Видимо, он, как и Фалес, много путешествовал и тоже учился у египетских и вавилонских мудрецов. Вернувшись около 530 г. до н. э. в Великую Грецию (район южной Италии), он в городе Кротон основал нечто вроде тайного духовного ордена. Именно он выдвинул тезис «Числа правят миром», и с исключительной энергией занимался его обоснованием. В начале V в. до н. э., после неудачного политического выступления, пифагорейцы были изгнаны из Южной Италии, и союз прекратил своё существование, однако популярность учения от рассеяния только возросла. Пифагорейские школы появились в Афинах, на островах и в греческих колониях, а их математические знания, строго оберегаемые от посторонних, сделались общим достоянием[5].

Рафаэль Санти. Пифагор
(деталь «Афинской школы»)

Многие достижения, приписываемые Пифагору, вероятно, на самом деле являются заслугой его учеников. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой (теорией чисел), создали теорию музыки. Пифагор первый из европейцев понял значение аксиоматического метода, чётко выделяя базовые предположения (аксиомы, постулаты) и дедуктивно выводимые из них теоремы[5].

Геометрия пифагорейцев в основном ограничивалась планиметрией (судя по дошедшим до нас позднейшим трудам, очень полно изложенной) и завершалась доказательством «теоремы Пифагора». Хотя изучались и правильные многогранники.

Была построена математическая теория музыки. Зависимость музыкальной гармонии от отношений целых чисел (длин струн) была сильным аргументом пифагорейцев в пользу исконной математической гармонии мира, спустя 2000 лет воспетой Кеплером. Они были уверены, что «элементы чисел являются элементами всех вещей… и что весь мир в целом является гармонией и числом»[6]. В основе всех законов природы, полагали пифагорейцы, лежит арифметика, и с её помощью можно проникнуть во все тайны мира. В отличие от геометрии, арифметика у них строилась не на аксиоматической базе, свойства натуральных чисел считались самоочевидными, однако доказательства теорем и здесь проводили неуклонно. Понятия нуля и отрицательных чисел ещё не возникли[5].

Пифагорейцы далеко продвинулись в теории делимости, но чрезмерно увлеклись «треугольными», «квадратными», «совершенными» и т. п. числами, которым, судя по всему, придавали мистическое значение. Видимо, правила построения «пифагоровых троек» были открыты уже тогда; исчерпывающие формулы для них приводятся у Диофанта. Теория наибольших общих делителей и наименьших общих кратных тоже, видимо, пифагорейского происхождения. Они построили общую теорию дробей (понимаемых как отношения (пропорции), так как единица считалась неделимой), научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции. Пифагорейцы знали, задолго до «Начал» Евклида, деление целых чисел с остатком и «алгоритм Евклида» для практического нахождения наибольшего общего делителя. Непрерывные дроби как самостоятельный объект выделили только в Новое время, хотя их неполные частные естественным путём получаются в алгоритме Евклида[5].

Первой трещиной в пифагорейской модели мира стало ими же полученное доказательство иррациональности , сформулированное геометрически как несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной (V век до н. э.). Невозможность выразить длину отрезка числом ставила под сомнение главный принцип пифагорейства. Даже Аристотель, не разделявший их взгляды, выражал своё изумление по поводу того, что есть вещи, которые «нельзя измерить самою малою мерою»[7].

Положение попытался спасти талантливый пифагореец Теэтет. Он (и позже Евдокс) предложили новое понимание числа, которое теперь формулировалось на геометрическом языке, и проблем соизмеримости не возникало. Теэтет разработал также полную теорию делимости и классификацию иррациональностей. По-видимому, ему также были известны понятие простого числа и основная теорема арифметики[8].

Впоследствии, уже в Новое время, выяснилось, что построение числовой алгебры на основе геометрии было стратегической ошибкой пифагорейцев. Например, с точки зрения геометрии выражения и даже не имели геометрического истолкования, и поэтому не имели смысла; то же относится к отрицательным числам. Позднее Декарт поступил наоборот, построив геометрию на основе алгебры, и добился громадного прогресса[9].

Нумерологическая мистика пифагорейцев нередко приводила к произвольным и спекулятивным выводам. Например, они были уверены в существовании невидимой Антиземли, так как без неё число небесных сфер (нижнее небо, Солнце, Луна и 6 планет) не составляет совершенного числа 10. В целом, несмотря на обилие мистики и эксцентричных предрассудков, заслуги пифагорейцев в развитии и систематизации античных математических знаний неоценимы.

V век до н. э. — Зенон, Демокрит

В V веке до н. э. появились новые вызовы оптимизму пифагорейцев.

Первый из них — три классические задачи древности: удвоение куба, трисекция угла и квадратура круга. Греки строго придерживались требования: все геометрические построения должны выполняться с помощью циркуля и линейки, то есть с помощью совершенных линий — прямых и окружностей. Однако для перечисленных задач найти решение каноническими методами не удавалось. Алгебраически это означало, что не всякое число можно получить с помощью 4 арифметических операций и извлечения квадратного корня.

Квадратурой круга безуспешно занимался выдающийся геометр-пифагореец, автор доевклидовых «Начал», первого свода геометрических знаний, Гиппократ Хиосский.

Первые две задачи сводятся к кубическим уравнениям. Архимед позже дал общее решение таких уравнений с помощью конических сечений, однако многие комментаторы продолжали считать подобные методы неприемлемыми. Гиппий из Элиды (V век до н. э.) показал, что для трисекции угла полезна квадратриса (первая трансцендентная кривая в истории математики); она же, кстати, решает и задачу квадратуры круга (Динострат, IV век до н. э.).

Помимо перечисленных проблем, греки активно исследовали «задачу деления круга»: какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. Без труда удавалось разделить окружность на 3, 4, 5, 15 частей, а также удвоить перечисленные значения. Но построить циркулем и линейкой семиугольник никому не удалось. Как оказалось, здесь также получается кубическое уравнение. Полную теорию опубликовал только Гаусс в XIX веке.

Зенон Элейский

Второй удар по пифагореизму нанёс Зенон Элейский, предложив ещё одну тему для многовековых размышлений математиков. Он высказал более 40 парадоксов (апорий), из которых наиболее знамениты три апории о движении. Вопреки многократным попыткам их опровергнуть и даже осмеять, они, тем не менее, до сих пор служат предметом серьёзного анализа. В них затронуты самые деликатные вопросы оснований математики — конечность и бесконечность, непрерывность и дискретность. Математика тогда считалась средством познания реальности, и суть споров можно было выразить как неадекватность непрерывной, бесконечно делимой математической модели физически дискретной материи[10].

В конце V века до н. э. жил ещё один выдающийся мыслитель — Демокрит. Он знаменит не только созданием концепции атомов. Архимед писал, что Демокрит нашёл объём пирамиды и конуса, но доказательств своих формул не дал. Вероятно, Архимед имел в виду доказательство методом исчерпывания, которого тогда ещё не существовало.

Рафаэль Санти. Афинская школа

IV век до н. э. — Платон, Евдокс

Уже к началу IV века до н. э. греческая математика далеко опередила всех своих учителей, и её бурное развитие продолжалось. В 389 году до н. э. Платон основывает в Афинах свою школу — знаменитую Академию. Математиков, присоединившихся к Академии, можно разделить на две группы: на тех, кто получил своё математическое образование вне Академии, и на учеников Академии. К числу первых принадлежали Теэтет Афинский, Архит Тарентский и позднее Евдокс Книдский; к числу вторых — братья Менехм и Динострат.

Сам Платон конкретных математических исследований не вёл, но опубликовал глубокие рассуждения по философии и методологии математики. А ученик Платона, Аристотель, оставил бесценные для нас записки по истории математики.

Евдокс Книдский первый создал геоцентрическую модель движения светил с 27 сферами. Позже эта конструкция была развита Аполлонием, Гиппархом и Птолемеем, которые увеличили число сфер до 34 и ввели эпициклы. Ему же принадлежат два выдающихся открытия: общая теория отношений (геометрическая модель вещественных чисел) и античный анализ — метод исчерпывания.

III век до н. э. — Евклид, Архимед, Аполлоний

Евклид. Оксфордский университетский музей естественной истории

После завоеваний Александра Македонского научным центром древнего мира становится Александрия Египетская. Птолемей I основал в ней Мусейон (Дом Муз) и пригласил туда виднейших учёных. Это была первая в греческом мире государственная академия, с богатейшей библиотекой (ядром которой послужила библиотека Аристотеля), которая к I веку до н. э. насчитывала 70000 томов.

Учёные Александрии объединили вычислительную мощь и древние знания вавилонских и египетских математиков с научными моделями эллинов. Значительно продвинулись плоская и сферическая тригонометрия, статика и гидростатика, оптика, музыка и др. Эратосфен уточнил длину меридиана и изобрёл своё знаменитое «решето». В истории математики известны три великих геометра древности, и прежде всего — Евклид с его «Началами». Тринадцать книг Начал — основа античной математики, итог её 300-летнего развития и база для дальнейших исследований. Влияние и авторитет этой книги были огромны в течение двух тысяч лет.

Фундамент математики, описанный Евклидом, расширил другой великий учёный — Архимед, один из немногих математиков античности, которые одинаково охотно занимались и теоретической, и прикладной наукой. Он, в частности, развив метод исчерпывания, сумел вычислить площади и объёмы многочисленных фигур и тел, ранее не поддававшихся усилиям математиков.

Последним из тройки великих был Аполлоний Пергский, автор глубокого исследования конических сечений.

Упадок античной науки

После Аполлония (со II века до н. э.) в античной науке начался спад. Новых глубоких идей не появляется. В 146 году до н. э. Рим захватывает Грецию, а в 31 году до н. э. — Александрию.

Среди немногочисленных достижений:

Необходимо отметить деятельность Паппа Александрийского (III век). Только благодаря ему до нас дошли сведения об античных учёных и их трудах.

На фоне общего застоя и упадка резко выделяется гигантская фигура Диофанта — последнего из великих античных математиков, «отца алгебры».

После III века н. э. александрийская школа просуществовала около 100 лет — приход христианства и частые смуты в империи резко снизили интерес к науке. Отдельные учёные труды ещё появляются в Афинах, но в 529 году Юстиниан закрыл Афинскую академию как рассадник язычества.

Часть учёных переехала в Персию или Сирию и продолжала труды там. От них уцелевшие сокровища античного знания получили учёные Индии и исламских стран.

Заключение

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов[11].

Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

Примечания

  1. Петров Ю. П. История и философия науки. Математика, вычислительная техника, информатика. Спб.: БХВ-Петербург, 2005. ISBN 5-94157-689-7, 448 с., стр. 9.
  2. Башмакова И. Г., 1958, с. 232..
  3. Шмутцер Э., Шютц В. Галилео Галилей. — М.: Мир, 1987. — С. 116. — 140 с.
  4. Башмакова И. Г., 1958, с. 240..
  5. 1 2 3 4 Прасолов, 2018—2019, с. 38—43.
  6. Аристотель. Метафизика. Перевод и примечания А. В. Кубицкого. М.—Л., 1934, стр. 26—27.
  7. Аристотель. Метафизика. Перевод и примечания А. В. Кубицкого. М.—Л., 1934, стр. 22.
  8. Башмакова И. Г., 1958, с. 260..
  9. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Descartes (англ.) — биография в архиве MacTutor.
  10. См. подробнее Апории Зенона#Современная трактовка.
  11. Башмакова И. Г., 1958, с. 436—437..

Литература

Ссылки

Read other articles:

Mathieu Debuchy Debuchy saat masih berseragam ArsenalInformasi pribadiNama lengkap Mathieu DebuchyTanggal lahir 28 Juli 1985 (umur 38)Tempat lahir Fretin, PrancisTinggi 1,77 m (5 ft 9+1⁄2 in)[1]Posisi bermain Bek KananKarier junior1992–1993 Frétin1993–2003 LilleKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2003–2013 Lille 233 (16)2013–2014 Newcastle United 43 (1)2014–2018 Arsenal 13 (1)2016 → Bordeaux (pinjaman) 9 (0)2018–2021 Saint-Étienne 86 (11)2021...

 

Національний парк «Острови Джорджіан-Бей» Georgian Bay Islands National Park Розташування парку на мапі 44°52′40″ пн. ш. 79°52′28″ зх. д. / 44.87780000002777570° пн. ш. 79.87470000002778647° зх. д. / 44.87780000002777570; -79.87470000002778647Координати: 44°52′40″ пн. ш. 79°52′28″ зх. д. / ...

 

British daytime television programme This MorningGenreEntertainmentLifestyleCreated byDiane Nelmes[1]Presented by Alison Hammond Dermot O'Leary Theme music composerDavid PringleCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishNo. of series35ProductionExecutive producerEmma GormleyProduction locations Royal Albert Dock, Liverpool (1988–1996, 2013, 2018) Studio 8, The London Studios (1996–2018)[2] Studio TC3, Television Centre, London (2018–present)[3] ITV St...

Tuntas SubagyoSM MMKetua Umum Partai Kedaulatan Rakyat Ke-1PetahanaMulai menjabat 12 Juni 2022Pendahulujabatan baru Informasi pribadiLahirTuntas Subagyo2 Desember 1977 (umur 46)Purbayan, Sukoharjo, IndonesiaKebangsaanIndonesiaPartai politikPartai Kedaulatan Rakyat (2022–sekarang)Suami/istriWidy Prehati ​(m. 2010)​Orang tuaSarmanto Dwijo Atmojo (ayah)Sumaharsih (ibu)Tempat tinggalPurbayan, Sukoharjo, IndonesiaAlma materSTIE IBMT SurabayaPekerjaanPoli...

 

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW  • CAPES  • Google (N • L • A) (Junho de 2019) Castello di Pollenzo está incluído no sítio Residências da Casa de Saboia, Património Mundial da UNESCO. Fachada do Castello di Pollenzo. O Castello di Pollenzo é um palácio italiano situado na Piazza della Chiesa, em...

 

يُقصد من مذهب القبألفية (بالإنجليزية: Premillennialism) في علم الآخرات المسيحية، الاعتقاد بأن يسوع سيعود بجسده إلى الأرض (المجيء الثاني للمسيح) قبل الألفية (أو الحكم الألفي)، وهو يعني حرفيًا حكم يسوع الأرض لألف عام من السلام. تُسمى هذه العقيدة «القبألفية» لأنها ترى أن عودة يسوع الج...

Confederation of broadcasting organisations This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: World Indigenous Television Broadcasters Network – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2022) (Learn how and when to remove this template message)This article needs to be updated. Please help update this...

 

System of plant classification by Bentham and Hooker Frontispiece of 1862 edition of Genera plantarum A taxonomic system, the Bentham & Hooker system for seed plants, was published in Bentham and Hooker's Genera plantarum ad exemplaria imprimis in herbariis kewensibus servata definita in three volumes between 1862 and 1883.[1][2] George Bentham (1800–1884) and Joseph Dalton Hooker (1817–1911) were British botanists who were closely affiliated to the Royal Botanic Garde...

 

Ескімосько-алеутські мови Eskaleut Поширені: Аляска, Північна Канада, Нунавік, Нунаціавут, Ґренландія, Східний Сибір Класифікація: Ескімосько-алеутські Групи: інуїтські юпікські алеутські ISO 639-5: esx Ескімосько-алеутськими мовами розмовляють у США, Канаді, Ґренландії та Росії ...

Multilingual neural machine translation service Google TranslateGoogle Translate website homepageType of siteNeural machine translationAvailable in133 languages; see belowOwnerGoogleURLtranslate.google.comCommercialYesRegistrationOptionalUsersOver 600 million people dailyLaunchedApril 28, 2006; 17 years ago (2006-04-28) (as statistical machine translation)[1]November 15, 2016; 7 years ago (2016-11-15) (as neural machine translation)[2]C...

 

TDs from 1948 to 1951 13th Dáil ←12th Dáil 14th Dáil→OverviewLegislative bodyDáil ÉireannJurisdictionIrelandMeeting placeLeinster HouseTerm18 February 1948 – 2 May 1951Election1948 general electionGovernment5th Government of IrelandMembers147Ceann ComhairleFrank FahyTaoiseachJohn A. CostelloTánaisteWilliam NortonChief WhipLiam CosgraveLeader of the OppositionÉamon de ValeraSessions1st18 February 1948 – 6 August 19482nd17 November 1948 – 21 July 19493rd2...

 

2005 video gameCABAL OnlineDeveloper(s)ESTsoft Corp.Publisher(s)ESTsoft Inc.Platform(s)Microsoft WindowsReleaseKOR: October 2005EU: September 2006NA: February 2008Genre(s)Massively multiplayer online role-playing gameMode(s)Multiplayer Cabal Online (Korean: 카발 온라인, stylized as CABAL Online) is a free-to-play, 3D massively multiplayer online role-playing game developed by South Korean company ESTsoft. Different localizations of the game exist for various countries and regions. Althou...

West Indies women's cricket team in India in 1976–77    India West IndiesDates 24 October – 27 November 1976Captains Shantha Rangaswamy Louise BrowneTest seriesResult 6-match series drawn 1–1Most runs Shantha Rangaswamy (381) Patricia Whittaker (201)Most wickets Shubhangi Kulkarni (23) Patricia Whittaker (14) The West Indies women's cricket team toured India in October and November 1976. They played India in a six Test match series, which ended as a 1–1 draw.[1]...

 

Team LiptonTeam informationUCI codeLIPRegisteredUnited StatesFounded2006 (2006)Disbanded2007Discipline(s)RoadStatusUCI Women's TeamTeam name history2006–2007Team Lipton Team Lipton (UCI Code: LIP) was a women's professional road bicycle racing team and triathlon team based in the United States and races in elite events on the UCI Women's Road World Cup and USA Cycling National Racing Calendar. The cycling team's title sponsor was Lipton[1]. 2007 team roster Ages as of 1 January 2007.&#...

 

Nigerian politician (born 1948) Peter Odili3rd Governor of Rivers StateIn office29 May 1999 – 29 May 2007DeputyGabriel TobyPreceded bySam EwangSucceeded byCelestine Omehia2nd Deputy Governor of Rivers StateIn office1992–1993GovernorRufus Ada-GeorgePreceded byFrank EkeSucceeded byGabriel Toby Personal detailsBorn (1948-08-15) 15 August 1948 (age 75)NationalityNigerianPolitical partyPeoples Democratic PartySpouseMary UkaegoOccupationPolitician Peter Otunuya Odili (born 15 Augu...

Aspect of history covering the study of ecology Ecology is a new science and considered as an important branch of biological science, having only become prominent during the second half of the 20th century.[1] Ecological thought is derivative of established currents in philosophy, particularly from ethics and politics.[2] Its history stems all the way back to the 4th century. One of the first ecologists whose writings survive may have been Aristotle or perhaps his student, The...

 

Iwatsuki Domain岩槻藩under Tokugawa shogunate Japan1590–1871CapitalIwatsuki CastleHistory • TypeDaimyō Historical eraEdo period• Established 1590• Disestablished 1871 Today part ofpart of Saitama Prefecture Surviving rear gate of Iwatsuki Castle, administrative center of Iwatsuki Domain Iwatsuki Domain (岩槻藩, Iwatsuki-han) was a feudal domain under the Tokugawa shogunate of Edo period Japan, in Musashi Province (modern-day Saitama Prefecture), Japan. It wa...

 

This article is about the railway stations. For the Manseibashi Police Station, see Akihabara. Manseibashi Station万世橋駅Original building of JGR Manseibashi StationGeneral informationLocationKanda, TokyoJapanOperated by Japanese Government Railways, Tokyo Underground Railway HistoryOpened1912 (Government)1930 (Underground)Closed1931 (Underground)November 1, 1943 (Government) Manseibashi Station (万世橋駅, Manseibashi-eki) can refer to two closed railway stations all in Chiyoda, Toky...

2008 single by B.G. and Chopper City Boyz featuring Lady DollaBubblegumSingle by B.G. and Chopper City Boyz featuring Lady Dollafrom the album Life in the Concrete Jungle ReleasedJuly 8, 2008GenreHip hopLength3:52LabelAsylum, Chopper CitySongwriter(s)Christopher Dorsey, Travis Edwards, Van SmithProducer(s)Joe Blow da CEOChopper City Boyz singles chronology For a Minute (2007) Bubblegum (2008) Ya Heard Me (2008) Bubblegum is a song by B.G. and the Chopper City Boyz, released in July 2008 a...

 

1956 American crime film directed by William Witney For the earlier film, see A Strange Adventure (1932 film). A Strange AdventureTheatrical release posterDirected byWilliam WitneyScreenplay byHouston BranchProduced byWilliam J. O'SullivanStarringJoan EvansBen CooperMarla EnglishJan MerlinNick AdamsPeter MillerCinematographyBud ThackeryEdited byHoward A. SmithMusic byR. Dale ButtsProductioncompanyRepublic PicturesDistributed byRepublic PicturesRelease date August 24, 1956 (1956...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!