Гауссова функция

Эта статья — о гауссовой функции в общей форме. О её частном случае — функции плотности нормального распределения, также называемой гауссовой — см. Нормальное распределение.

Гауссова функция (гауссиан, гауссиана, функция Гаусса) — вещественная функция, описываемая следующей формулой:

${\displaystyle g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}}$,

где параметры ${\displaystyle a,b,c}$ — произвольные вещественные числа. Введена Гауссом в 1809 году как функция плотности нормального распределения, и наибольшее значение имеет в этом качестве, в этом случае параметры выражаются через среднеквадратическое отклонение ${\displaystyle \sigma }$ и математическое ожидание ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}}$, ${\displaystyle b=\mu }$, ${\displaystyle c=\sigma }$,

Форма графика плотности нормального распределения в зависимости от математического ожидания ${\displaystyle \mu }$ и среднеквадратичного отклонения ${\displaystyle \sigma }$

График гауссовой функции при ${\displaystyle a>0}$ и ${\displaystyle c\neq 0}$ — колоколообразная кривая, параметр ${\displaystyle a}$ определяет максимальную высоту графика — пик колокола, ${\displaystyle b}$ отвечает за сдвиг пика от нуля (при ${\displaystyle b=0}$ — пик в нуле), а ${\displaystyle c}$ влияет на ширину (размах) колокола.

Существуют многомерные обобщения функции➤. Кроме применений в теории вероятностей, статистике и других многочисленных приложениях как функции плотности нормального распределения, гауссиана имеет самостоятельное значение➤ в математическом анализе, математической физике, теории обработки сигналов.

Свойства

Свойства гауссовой функции связаны с её конструкцией из экспоненциальной функции и вогнутой квадратичной функции, логарифм гауссианы — вогнутая квадратичная функция.

Параметр ${\displaystyle c}$ связан с полушириной колокола графика следующим образом:

${\displaystyle w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c}$.

Гауссова функция может быть выражена через полуширину ${\displaystyle w}$ колокола графика следующим образом:

${\displaystyle g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(x-b)^{2}}{w^{2}}}}}$.

Перегибы ${\displaystyle g(x)}$ — две точки, в которых ${\displaystyle x=b\pm c}$.

Гауссова функция аналитична, в пределе к обеим бесконечностям стремится к нулю:

${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0}$.

Будучи составленной из экспоненциальной функции и арифметических операций, гауссиана является элементарной, однако её первообразная неэлементарна; интеграл гауссовой функции:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}$

— это (с точностью до постоянного множителя) — функция ошибок, являющаяся спецфункцией. При этом интеграл по всей числовой прямой (в связи со свойствами экспоненциальной функции) — константа^[1]:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(x-b)^{2} \over 2c^{2}}}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\pi }}}$.

Этот интеграл обращается в единицу только при условии:

${\displaystyle a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi }}}}}$,

и это даёт в точности тот случай, когда гауссиана является функцией плотности нормального распределения случайной переменной с математическим ожиданием ${\displaystyle \mu =b}$ и дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}=c^{2}}$.

Произведение гауссиан — гауссова функция; свёртка двух гауссовых функций даёт гауссову функцию, притом параметр ${\displaystyle c}$ свёртки выражается из соответствующих параметров входящих в неё гауссиан: ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}$. Произведение двух функций плотности нормального распределения, являясь гауссовой функцией, в общем случае не дает функцию плотности нормального распределения.

Многомерные обобщения

Двумерная гауссиана, коэффициенты (в общей форме):
${\displaystyle A=1}$,
${\displaystyle (x_{0},y_{0})=(0,0)}$,
${\displaystyle a=c=1/2}$,
${\displaystyle b=0}$

Пример двумерного варианта гауссовой функции:

${\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)}}$,

здесь ${\displaystyle A}$ задаёт высоту колокола, ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ определяют сдвиг пика колокола от нулевой абсциссы, а ${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y})}$ отвечают за размах колокола. Объём под такой поверхностью:

${\displaystyle V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}}$

В наиболее общей форме, двумерная гауссиана определяется следующим образом:

${\displaystyle g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0})+c(y-y_{0})^{2}\right)\right)}$,

где матрица:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]}$

положительно определена.

Вариант гауссовой функции в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве:

${\displaystyle g(x)=\exp(-x^{T}Ax)}$,

где ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ — вектор-столбец из ${\displaystyle n}$ компонентов, ${\displaystyle A}$ — положительно определённая матрица размера ${\displaystyle n\times n}$, и ${\displaystyle x^{T}}$ — операция транспонирования над ${\displaystyle x}$.

Интеграл такой гауссовой функции над всем пространством ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A}}}}$.

Возможно определить ${\displaystyle n}$-мерный вариант и со сдвигом:

${\displaystyle g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)}$,

где ${\displaystyle s=(s_{1},\dots ,s_{n})}$ — вектор сдвига, а матрица ${\displaystyle A}$ — симметричная (${\displaystyle A^{T}=A}$) и положительно определённая.

Супергауссова функция

Супергауссова функция — обобщение гауссовой функции, в которой аргумент экспоненты возводится в степень ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P}\right)}$,

получившая применение для описания свойств гауссовых пучков^[2]. В двумерном случае супергауссова функция может быть рассмотрена с различными степенями по аргументам ${\displaystyle P_{x}}$ и ${\displaystyle P_{y}}$^[3]:

${\displaystyle sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\right)^{P_{x}}-\left({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)^{P_{y}}\right)}$.

Применения

Основное применение гауссовых функций и многомерных обобщений — в роли функции плотности вероятности нормального распределения и многомерного нормального распределения. Самостоятельное значение функция имеет для ряда уравнений математической физики, в частности, гауссианы являются функциями Грина для уравнения гомогенной и изотропной диффузии (соответственно, и для уравнения теплопроводности), и преобразование Вейерштрасса — операция свёртки обобщённой функции, выражающей начальные условия уравнения, с гауссовой функцией. Также гауссиана является волновой функцией основного состояния квантового гармонического осциллятора.

В вычислительной химии для определения молекулярных орбиталей используются так называемые гауссовы орбитали^[англ.] — линейные комбинации гауссовых функций.

Гауссовы функции и их дискретные аналоги (такие, как дискретное гауссово ядро^[англ.]) используются в цифровой обработке сигналов, обработке изображений, синтезе звука^[4]; в частности, через гауссианы определяются гауссов фильтр и гауссово размытие^[англ.]. В определении отдельных видов искусственных нейронных сетей также участвуют гауссовы функции.

Примечания

1. Кампос, 2014, p. 1—2.
2. A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Propagation of super-Gaussian field distributions // Optical and quantum electronics. — 1992. — № 9. — P. S1071—S1079.
3. GLAD optical software commands manual, Entry on GAUSSIAN command  (неопр.). Applied Optics Research (15 декабря 2016). Архивировано 10 июня 2017 года.
4. C. R. Popa. Current-mode Analog Nonlinear Function Synthesizer Structures. — Springer Switzerland, 2013. — С. 59. — 198 с. — ISBN 983-3-319-01035-9.

Литература

• L. M. B. C. Campos. 1.1. Evaluation of Integrals of Gaussian Functions // Generalized Calculus with Applications to Matter and Forces. — Boca Raton: CRC Press, 2014. — 823 с. — ISBN 978-1-4200-7115-3.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Gaussian Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Integrating The Bell Curve / MathPages (англ.)