Квантовый гармонический осциллятор

Ква́нтовый гармони́ческий осцилля́тор — физическая модель в квантовой механике, представляющая собой параболическую потенциальную яму для частицы массой ${\displaystyle m}$ и являющаяся аналогом простого гармонического осциллятора. При анализе поведения данной системы рассматриваются не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полная энергия осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Одномерный гармонический осциллятор

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, ${\displaystyle n=0,\dots ,7}$. По горизонтали отложена координата ${\displaystyle q}$, по вертикали — значение волновой функции ${\displaystyle \psi _{n}(q)}$. Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массой ${\displaystyle m}$, собственная частота которого ${\displaystyle \omega }$, выглядит так:

${\displaystyle \!{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}}{2}}}$

В координатном представлении оператор импульса имеет вид ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x}$ , а оператор координаты ${\displaystyle {\hat {q}}=x}$. Через ${\displaystyle \hbar }$ обозначена редуцированная постоянная Планка, через ${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

Задача отыскания уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению чисел ${\displaystyle E}$, при которых дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)}$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций. Здесь ${\displaystyle \psi (x)}$ — волновая функция. Для

${\displaystyle E=E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots }$

решение имеет вид:

${\displaystyle \psi =\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$

функции ${\displaystyle H_{n}}$ — полиномы Эрмита:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$.

Данный спектр значений ${\displaystyle E}$ заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ${\displaystyle \hbar \omega }$; во-вторых, наименьшее значение энергии равно ${\displaystyle \hbar \omega /2}$. Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Гамильтониан гармонического осциллятора можно также записать вводя операторы рождения и уничтожения (${\displaystyle {\hat {a}}^{+}}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}}$, соответственно)

${\displaystyle {\hat {a}}^{+}={\frac {1}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}(m\omega x-i{\hat {p}}),\quad {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2m\hbar \omega }}}(m\omega x+i{\hat {p}})}$,

сопряжённые друг другу. Их коммутатор равен

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a}}^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p}})=1}$.

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан обретает компактный вид

${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)}$,

где ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}}$ — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные векторы записанного гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Неодномерный гармонический осциллятор

Если колебания независимо происходят вдоль всех трёх декартовых координат (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$), уравнение Шрёдингера становится трехмерным, но возможно разделение переменных — и для каждой из координатных осей получается одномерное уравнение. В результате волновые функции будут записываться в форме

${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}(x,\,y,\,z)=\psi _{n_{x}}(x)\psi _{n_{y}}(y)\psi _{n_{z}}(z)}$,

где функции-сомножители справа имеют вид, обсуждавшийся выше. При этом энергии уровней составят

${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\hbar \omega \left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\frac {3}{2}}\right)}$,

где ${\displaystyle n_{x}}$, ${\displaystyle n_{y}}$, ${\displaystyle n_{z}}$ — неотрицательные целые числа. Уровни, кроме нулевого, оказываются вырожденными, так как одна и та же величина энергии может достигаться несколькими комбинациями чисел.

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

${\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}+\lambda {\hat {q}}^{3}}$,

где ${\displaystyle \lambda =\,\,}$сonst. Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования) кубическое слагаемое равно

${\displaystyle \lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3}.}$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния ${\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle }$ равна

${\displaystyle \Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .}$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}}$

Здесь под ${\displaystyle {\hat {q}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\hat {p}}_{i}}$ подразумеваются отклонение от положения равновесия и импульс ${\displaystyle i}$-той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — Бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы ${\displaystyle f(t)}$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (${\displaystyle n}$) на другой (${\displaystyle m}$). Вероятность этого перехода ${\displaystyle W_{n,m}(t)}$ для осциллятора без затухания даётся формулой

${\displaystyle W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(n-m)}\exp \left(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2}\right)}$,

где функция ${\displaystyle \delta (t)}$ определяется как

${\displaystyle \delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )\exp(i\omega \tau )d\tau }}$,

а ${\displaystyle L_{m}^{m-n}}$ — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).