Операторы рождения и уничтожения

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных систем^[1]. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частиц^[2]. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком^[3].

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов^[4].

Определение

Пусть ${\displaystyle H}$ — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством ${\displaystyle H}$ называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами ${\displaystyle a(f)}$, где ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle H}$, с учётом соотношений:

${\displaystyle [a(f),a(g)]=[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)]=0}$

${\displaystyle [a(f),a^{\dagger }(g)]=\langle f\mid g\rangle ,}$

в обозначениях бра и кет.

Отображение ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ из ${\displaystyle H}$ в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным антилинейным^[англ.]. Сопряженный к элементу ${\displaystyle a(f)}$ является ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$, и отображение ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ является комплексным линейным^[англ.] в H. Таким образом, ${\displaystyle H}$ используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент ${\displaystyle a(f)}$ будет реализован как оператор уничтожения, а ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над ${\displaystyle H}$ тесно связана, но не идентична алгебре Вейля^[англ.].

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над ${\displaystyle H}$ строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно

${\displaystyle \{a(f),a(g)\}=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0}$

${\displaystyle \{a(f),a^{\dagger }(g)\}=\langle f\mid g\rangle .}$

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если ${\displaystyle H}$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится ${\displaystyle C^{*}}$ алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.

Физический смысл оператора ${\displaystyle a(f)}$ заключается в уничтожении частицы в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$ тогда как ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ создает частицу в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$.

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние ${\displaystyle \left|0\right\rangle }$ без частиц, характеризуемое как:

${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$

Если ${\displaystyle |f\rangle }$ отнормирован, так что ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$, тогда ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ дает число частиц в состоянии ${\displaystyle |f\rangle }$.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

Основная статья: Вторичное квантование

В квантовых теориях поля и задаче многих тел^[англ.] используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ и ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$. Эти операторы изменяют собственные значения оператора числа частиц^[англ.],

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,}}$,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, ${\displaystyle i}$) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел ${\displaystyle (n,l,m,s)}$ используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

${\displaystyle [a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }]\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle [a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }]=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,}$

где ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ — коммутатор и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — cимвол Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором ${\displaystyle \{\ \ ,\ \ \}}$,

${\displaystyle \{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$

${\displaystyle \{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.}$

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть ${\displaystyle i\neq j}$) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

См. также

• Пространство Фока
• Пространство Сигала — Баргмана^[англ.]
• Оптическое фазовое пространство^[англ.]
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Преобразование Йордана — Вигнера^[англ.]
• Отображение Йордана^[англ.]
• Преобразование Клейна^[англ.]
• Каноническое коммутационное соотношение

Примечания

1. Фейнман, 1975, с. 175.
2. Боголюбов, 1957, с. 69.
3. Dirac, PAMD (1927). The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc Roy Soc London Ser A, 114 (767), 243—265.
4. Фейнман, 1975, с. 200—201.

Литература

• Р. Фейнман. Статистическая механика. — М.: Мир, 1975. — 407 с.
• Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — 441 с.