Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности , которая вычисляет её конечные разности . Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера ➤ последовательности .
Биномиальное преобразование
T
{\displaystyle T}
a
n
{\displaystyle {a_{n}}}
s
n
{\displaystyle {s_{n}}}
s
n
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
− − -->
1
)
k
(
n
k
)
a
k
.
{\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.}
Введём
(
T
a
)
n
=
s
n
{\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n}}
T
{\displaystyle T}
оператор , имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы
T
n
k
.
{\displaystyle T_{nk}.}
Оператор
T
{\displaystyle T}
инволюции :
T
T
=
1
{\displaystyle TT=1}
∑ ∑ -->
k
=
0
∞ ∞ -->
T
n
k
T
k
m
=
δ δ -->
n
m
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}
где
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
символ Кронекера . Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу
a
n
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
− − -->
1
)
k
(
n
k
)
s
k
.
{\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.}
Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей :
s
0
=
a
0
{\displaystyle s_{0}=a_{0}}
s
1
=
− − -->
(
△ △ -->
a
)
0
=
− − -->
a
1
+
a
0
{\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}
s
2
=
(
△ △ -->
2
a
)
0
=
− − -->
(
− − -->
a
2
+
a
1
)
+
(
− − -->
a
1
+
a
0
)
=
a
2
− − -->
2
a
1
+
a
0
{\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}
… … -->
{\displaystyle \ldots }
s
n
=
(
− − -->
1
)
n
(
△ △ -->
n
a
)
0
,
{\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0},}
где
△ △ -->
{\displaystyle \triangle }
Δ Δ -->
h
(
f
(
x
)
)
=
f
(
x
+
h
)
− − -->
f
(
x
)
.
{\displaystyle \Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).}
Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:
0
1
10
63
324
1485
1
9
53
261
1161
8
44
208
900
36
164
692
128
528
400
Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485 ) определяется формулой
3
n
− − -->
2
(
2
n
2
+
n
)
{\displaystyle 3^{n-2}(2n^{2}+n)}
0, 1, 8, 36, 128, 400 ), которая в свою очередь, определяется формулой
n
2
2
n
− − -->
1
{\displaystyle n^{2}2^{n-1}}
Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла
B
i
{\displaystyle B_{i}}
B
n
+
1
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
n
k
)
B
k
{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}
Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов .
Пусть
{
f
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
a
n
x
n
g
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
s
n
x
n
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\\g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}x^{n}\end{matrix}}\right.}
Тогда
g
(
x
)
=
(
T
f
)
(
x
)
=
1
1
− − -->
x
f
(
x
1
− − -->
x
)
.
{\displaystyle g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).}
(простая производящая функция)
Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера , которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить
x
=
1
2
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}
формулу для простой производящей функции , то получим
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
a
n
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
Δ Δ -->
n
a
0
2
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}}
что сходится гораздо быстрее изначального ряда.
Можно обобщить это преобразование до вида при
p
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
n
+
p
n
)
a
n
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
(
− − -->
1
)
n
(
n
+
p
n
)
Δ Δ -->
n
a
0
2
n
+
p
+
1
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{n+p \choose n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.}
Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции
2
F
1
{\displaystyle _{2}F_{1}}
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
=
(
1
− − -->
z
)
− − -->
b
2
F
1
(
c
− − -->
a
,
b
;
c
;
z
z
− − -->
1
)
.
{\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}}\right).}
Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями . Пусть
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
x
=
[
0
;
a
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯ ⋯ -->
]
{\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}
Тогда
{
x
1
− − -->
x
=
[
0
;
a
1
− − -->
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯ ⋯ -->
]
;
x
1
+
x
=
[
0
;
a
1
+
1
,
a
2
,
a
3
,
⋯ ⋯ -->
]
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ];\\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matrix}}\right.}
Для экспоненциальной функции имеем
{
f
¯ ¯ -->
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
a
n
x
n
n
!
;
g
¯ ¯ -->
(
x
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
s
n
x
n
n
!
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}};\\{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.\end{matrix}}\right.}
Тогда
g
¯ ¯ -->
(
x
)
=
(
T
f
¯ ¯ -->
)
(
x
)
=
e
x
f
¯ ¯ -->
(
− − -->
x
)
.
{\displaystyle {\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).}
Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции , биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.
Этот раздел статьи
ещё не написан .
Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (30 июня 2016 )
John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3 , (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82
![{\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7250647ff8ecbbd24e395ebbf869b5585bd8cb5f)
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots ];\\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a54737020f08a1cb9abcfe6a5b972805c6a59b)
