Интерполяция

О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция, интерполи́рование (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории^[1].

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и теорема Марцинкевича^[англ.], являющиеся основой для множества других работ.

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек ${\displaystyle x_{i}}$ (${\displaystyle i\in {0,1,\dots ,N}}$) из некоторой области ${\displaystyle D}$. Пусть значения функции ${\displaystyle f}$ известны только в этих точках:

${\displaystyle y_{i}=f(x_{i}),\quad i=1,\ldots ,N.}$

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции ${\displaystyle F}$ из заданного класса функций, что

${\displaystyle F(x_{i})=y_{i},\quad i=1,\ldots ,N.}$

• Точки ${\displaystyle x_{i}}$ называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• Пары ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ называют точками данных или базовыми точками.
• Разность между «соседними» значениями ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
• Функцию ${\displaystyle F(x)}$ — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений ${\displaystyle x}$ определяет соответствующие значения ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle x}$	${\displaystyle f(x)}$
0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

${\displaystyle ?=15.5+{\frac {(6378-6000)}{8000-6000}}*{\frac {(19.2-15.5)}{1}}=16.1993}$

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

• Линейная интерполяция
• Интерполяционная формула Ньютона
• Метод конечных разностей
• ИМН-1 и ИМН-2
• Многочлен Лагранжа (интерполяционный многочлен)
• Схема Эйткена
• Сплайн-функция
• Кубический сплайн

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)

• Полином Лагранжа
• Обратное интерполирование по формуле Ньютона
• Обратное интерполирование по формуле Гаусса

Интерполяция функции нескольких переменных

• Билинейная интерполяция
• Бикубическая интерполяция

Другие способы интерполяции

• Рациональная интерполяция
• Тригонометрическая интерполяция

Смежные концепции

• Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
• Ретрополяция — методы нахождения по известным значениям переменной её неизвестных значений в начале динамического ряда.
• Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

См. также

• Интерполяционные формулы
• Регрессия (математика)
• Метод наименьших квадратов
• Сглаживание данных эксперимента
• Диаграмма рассеяния

Примечания

1. Берг, 1980, с. 6—7.

Литература

• Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.
• Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
• Уолш Дж. Л.^[англ.] Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
• Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 c.