Теорема Римана об устранимой особой точке

Теорема Римана — утверждение из теории функций комплексной переменной о заполнении устранимого разрыва.

Формулировка

Допустим, что ${\displaystyle z_{0}\in G\subset \mathbb {C} }$ и ${\displaystyle f}$ аналитична в ${\displaystyle G\setminus \{z_{0}\}}$. Следующие пять условий равносильны:

1. ${\displaystyle f}$ аналитически продолжаема в точку ${\displaystyle z_{0}}$;
2. ${\displaystyle f}$ непрерывно продолжаема в точку ${\displaystyle z_{0}}$;
3. Существует некоторая окрестность ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$, в которой ${\displaystyle f}$ ограничена;
4. ${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}\,(z-z_{0})f(z)=0}$;
5. Точка ${\displaystyle z_{0}}$ — устранимая особенность ${\displaystyle f}$.