Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

• большая полуось (${\displaystyle a}$),
• эксцентриситет (${\displaystyle e}$),
• наклонение (${\displaystyle i}$),
• долгота восходящего узла (${\displaystyle \Omega }$),
• аргумент перицентра (${\displaystyle \omega }$),
• средняя аномалия (${\displaystyle M_{o}}$).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом, его большая полуось ${\displaystyle a}$ положительна^[1] и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса^[1][2][3].

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: ${\displaystyle a=-{\frac {GMm}{2E}}}$^[3]. Связана с положением и скоростью тела соотношением ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$, где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела^[1][2].

Эксцентриситет

Основная статья: Эксцентриситет орбиты

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается «${\displaystyle e}$» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия^[4]. Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$, где ${\displaystyle b}$ — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины ${\displaystyle \varepsilon }$ орбита представляет собой^[1][2][3][5]:

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$ — окружность
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ — эллипс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$ — параболу
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$ — гиперболу, ${\displaystyle b}$ — мнимое число
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$ — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

Запрос «Наклонение (астрономия)»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

${\displaystyle A}$ – объект
${\displaystyle B}$ – центральный объект
${\displaystyle C}$ – плоскость отсчёта
${\displaystyle D}$ – плоскость орбиты
 ${\displaystyle i}$  – наклонение

Наклоне́ние <орбиты> (накло́н <орбиты>, накло́нность <орбиты>) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если ${\displaystyle 0^{\circ }<i<90^{\circ }}$, то движение небесного тела называется прямым^[6].

Если ${\displaystyle 90^{\circ }<i<180^{\circ }}$, то движение небесного тела называется обратным (ретроградным).

• В применении к Солнечной системе, за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли (плоскость эклиптики). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла

Запрос «Долгота восходящего узла»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)}$

${\displaystyle \Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);}$

${\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).}$

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Запрос «Аргумент перицентра»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается (${\displaystyle \omega }$).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$. Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным^[7].

Средняя аномалия

Запрос «Средняя аномалия»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой ${\displaystyle M}$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия ${\displaystyle M}$ вычисляется по следующим формулам:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})}$

где:

• ${\displaystyle M_{0}}$ — средняя аномалия на эпоху ${\displaystyle t_{0}}$,
• ${\displaystyle t_{0}}$ — начальная эпоха,
• ${\displaystyle t}$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• ${\displaystyle n}$ — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

где:

• ${\displaystyle E}$ — эксцентрическая аномалия (${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет.

Примечания

1. Ишмухаметова М. Г., Кондратьева Е. Д. Решение задач по небесной механике и астродинамике : Учебно-методическое пособие для практических занятий по дисциплине «Небесная механика» : [арх. 7 июня 2020]. — Казань : Физический факультет Казанского государственного университета, 2009. — 37 с.
2. С. А. Мирер. Механика космического полета.Орбитальное движение  (неопр.) (2013). Дата обращения: 7 июня 2020. Архивировано 23 ноября 2018 года.
3. Е. И. Бутиков. Закономерности кеплеровых движений : Учебное пособие : [арх. 31 января 2016]. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет, 2006. — 61 с.
4. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, Архивная копия от 8 июля 2020 на Wayback Machine — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
5. Keplerian Elements Tutorial (англ.). The Radio Amateur Satellite Corporation. Дата обращения: 7 июня 2020. Архивировано из оригинала 14 октября 2002 года.
6. То есть объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля
7. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6. Celestial Mechanics // Fundamental Astronomy. — 5-е изд. — Springer Science & Business Media, 2007. — С. 117—118.

Ссылки

• Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics. 28 (5): 1079—1084. Bibcode:2005JGCD...28.1079G. doi:10.2514/1.14760.
• Tutorial  (неопр.). AMSAT. Архивировано из оригинала 14 октября 2002 года.
• Orbits Tutorial  (неопр.). marine.rutgers.edu. Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано из оригинала 19 апреля 2021 года.