Выпуклая функция

Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.

Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют выпуклой вниз. Выпуклой вверх или вогнутой называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции^[1].

Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ.

Неравенство Йенсена в определении выпуклой функции

Определения

Формально, для числовой функции на некотором интервале (в общем случае — на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпуклость (вниз) можно определить как выполнение неравенства Йенсена — если для любых двух значений аргумента $x$ , $y$ и для любого числа $t\in \left[0,1\right]$ имеет место:

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)

.

Если неравенство Йенсена выполняется в строгом варианте для всех $t\in \left(0,1\right)$ и $x\neq y$ , то функция называется строго выпуклой. Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (соответственно, строго вогнутой для строгого случая).

Если для некоторого $\varepsilon >0$ выполняется более сильное неравенство:

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|x-y\right|^{2}

,

то функция называется сильно выпуклой.

Свойства

Функция $f$ , выпуклая на интервале $\mathbb {I}$ , непрерывна на всём $\mathbb {I}$ , дифференцируема на всём $\mathbb {I}$ за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.

Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.

У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.

Непрерывная функция $f$ выпукла на $\mathbb {I}$ тогда и только тогда, когда для всех точек $x,y\in \mathbb {I}$ выполняется неравенство:

f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}

Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция $f\left(x\right)=x^{4}$ строго выпукла на $\left[-1,1\right]$ , но её вторая производная в точке $x=0$ равна нулю).

Если функции $f$ , $g$ выпуклы, то любая их линейная комбинация $af+bg$ с положительными коэффициентами $a$ , $b$ также выпукла.

Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом). Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

Примечания

↑ Клюшин В. Л.. Высшая математика для экономистов (рус.) / под ред. И. В. Мартынова. — Учебное издание. — М.: Инфра-М, 2006. — С. 229. — 448 с. — ISBN 5-16-002752-1.