Пример графика функции
x
3
{\displaystyle x^{3}}
в прямоугольных координатах
Пример графика диаграммы направленности дипольного излучателя в полярных координатах
Изометрический график двумерной поверхности функции двух переменных
f
(
x
,
y
)
=
sin
-->
(
x
2
)
cos
-->
(
y
2
)
{\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cos \left(y^{2}\right)}
Гра́фик фу́нкции — геометрическое понятие в математике , дающее представление о геометрическом образе функции .
Наиболее наглядны графики вещественнозначных функций вещественного переменного одной переменной.
Для непрерывной функции двух переменных
z
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=f(x,\ y)}
их графики представляют собой поверхности в трёхмерном пространстве , являющиеся геометрическим местом точек
z
,
x
,
y
.
{\displaystyle z,\ x,\ y.}
Эти поверхности могут быть изображены на плоскости в какой-либо изометрической проекции (см. рисунок).
Обычно графики строят в прямоугольной системе координат , на плоскости эту систему координат называют декартовой системой координат .
Также графики для повышения наглядности часто строят в других системах координат, например, в полярной системе координат или других косоугольных системах координат .
В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x ) и ординаты (y ), которые связаны отображаемой функцией:
точка
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
располагается (или находится) на графике функции
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
тогда и только тогда, когда
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
.
Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком .
Из определения графика функции следует, что далеко не всякое множество точек плоскости может быть графиком некоторой функции, например, из требования однозначности функции вытекает, что никакая прямая, параллельная оси ординат , не может пересекать график функции более чем в одной точке. Если функция обратима, то график обратной функции (как подмножество плоскости) будет совпадать с графиком самой функции (это, проще говоря, одно и то же подмножество плоскости).
Некоторые функции определены только в конечном дискретном множестве аргумента, при этом график таких функций представляет собой множество точек — например, график функции, определённой как:
f
(
x
)
=
{
a
,
x
=
1
b
,
x
=
2
c
,
x
=
3
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&x=1\\b,&x=2\\c,&x=3\end{matrix}}\right.}
представляет собой множество из трёх точек
(
1
,
a
)
;
(
2
,
b
)
;
(
3
,
c
)
.
{\displaystyle (1,\ a);~(2,\ b);~(3,\ c).}
График гладкой (требуемое количество раз дифференцируемой функции ) является плоской кривой той же степени гладкости.
Некоторые графики имеют самостоятельные имена, например:
Большинство из них называются тригонометрическими функциями.
Определение графика
При рассмотрении отображения произвольного вида
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
, действующего из множества
X
{\displaystyle X}
в множество
Y
{\displaystyle Y}
, графиком функции называется следующее множество упорядоченных пар:
Γ Γ -->
f
=
{
(
x
,
f
(
x
)
)
∈ ∈ -->
X
× × -->
Y
∣ ∣ -->
x
∈ ∈ -->
X
}
.
{\displaystyle \Gamma _{f}=\{\,(x,f(x))\in X\times Y\mid x\in X\,\}.}
В частности, при рассмотрении динамических систем , изображающая точка
(
t
,
f
(
t
)
)
{\displaystyle (t,f(t))}
представляет собою график решения соответствующего дифференциального уравнения с заданными начальными условиями такой график часто называют фазовой траекторией системы.
Примеры
Функция
График функции
Описание
f
(
x
)
=
{
− − -->
1
,
x
<
0
0
,
x
=
0
1
,
x
>
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}}}
Функция
y
=
sgn
-->
(
x
)
.
{\displaystyle y=\operatorname {sgn}(x).}
В точке
x
=
0
y
=
0.
{\displaystyle x=0~~y=0.}
f
(
x
)
=
{
0
,
x
=
1
8
,
x
=
2
15
,
x
=
3
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&x=1\\8,&x=2\\15,&x=3\end{cases}}}
Пример графика функции, определённой только в трёх точках
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle \{1,2,3\}}
и содержит только три точки с координатами
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
,
(
2
,
8
)
{\displaystyle (2,8)}
и
(
3
,
15
)
.
{\displaystyle (3,15).}
f
(
x
)
=
sin
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sin(x)}
f
(
x
)
=
cos
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\cos(x)}
f
(
x
)
=
tg
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {tg} (x)}
f
(
x
)
=
ctg
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {ctg} (x)}
f
(
x
)
=
sec
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\sec(x)}
f
(
x
)
=
cosec
-->
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {cosec} (x)}
Графики тригонометрических функций: синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса , косеканса
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
График гиперболы. При
x
=
0
{\displaystyle x=0}
претерпевает разрыв 2-го рода и в точке
x
=
0
{\displaystyle x=0}
не определена.
f
(
x
)
=
b
x
{\displaystyle f(x)=b^{x}}
Графики функций
y
=
b
x
{\displaystyle y=b^{x}}
различными основаниями
b
{\displaystyle b}
:
основание: 10
основание: e
основание: 2
основание: 1 / 2
Каждая кривая проходит через точку (0, 1) .
f
(
x
)
=
x
3
− − -->
9
x
{\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}
График
f
(
x
)
=
x
3
− − -->
9
x
{\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}
кубического многочлена вещественной переменной, это множество
{
(
x
,
x
3
− − -->
9
x
)
∈ ∈ -->
R
2
|
x
∈ ∈ -->
R
}
{\displaystyle \{(x,x^{3}-9x)\in \mathbb {R} ^{2}\ |x\in \mathbb {R} \}}
.
См. также
Литература
Ссылки