Teorema fundamental da aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1^[1] podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

As proposições do Livro XII de Os Elementos de Euclides praticamente demonstraram este teorema que também foi exposto no Livro IX. O teorema só foi demonstrado e proposto por Carl Friedrich Gauss em 1796.

Livro VII de Os Elementos de Euclides

O Livro VII, com 39 proposições, é totalmente aritmético e estuda as propriedades dos números naturais e suas relações. Ele apresenta três proposições que motivaram o Teorema Fundamental da Aritmética:

Proposição VII-30:

"Caso dois números, sendo multiplicados entre si, façam algum, e algum número primo meça o produzido deles, medirá também um dos do princípio."

Demonstração de "Os Elementos"

"Façam, pois, dos dois números A, B, sendo multiplicados entre si, o C, e algum número primo, o D, meça o C; diga que o D mede um dos A, B. Não meça, pois, o A; e o D é primo, portanto, os A, D são primos entre si. E tantas vezes o D mede o C, quantas unidades no E, portanto o D, tendo multiplicado o E, fez o C. Mas, certamente, também o A, tendo multiplicado o B, fez o C; portanto, os dois D, E é igual aos dois A, B. Portanto, como D está para A, assim o B para o E. E os D, A são primos, e os primos são também os menores, e os menores medem os que têm as a mesma razão, o mesmo número de vezes, tanto o maior, o maior quanto o menos, o menos, isto é, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o D mede o B. Do mesmo modo, então, provaremos que também, caso não meça o B, medirá o A. Portanto, o D mede um dos A, B; o que era preciso prova."

Proposição VII-31

"Todo número composto é medido por algum número primo."

Demonstração de "Os Elementos"

"Seja o número composto A; digo que o A é medido por algum número primo. Pois, como o A é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o B. E se, por um lado, o B é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o C. E como o C mede o B, e o B mede o A, portanto também o C mede o A. E se, por um lado, o C é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado é composto, outro número o medirá. Sendo então produzida uma investigação como essa, algum número primo será tomado, que medirá. Pois, se não for tomado, ilimitados números medirão o A, cada um dos quais é menor do que o outro; o que é impossível nos números. Portanto, algum número primo será tomado, que medirá o antes dele mesmo, que também medirá o A. Portanto, todo número composto é medido por algum número primo o que era preciso prova."

Proposição VII-32

"Todo número ou é primo ou é medido por algum primo."

Demonstração de "Os Elementos"

"Seja o número A; digo que o A ou é primo ou é medido por algum número primo. Se, por um lado, o A é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número primo o medirá. Portanto, todo número ou é primo ou é medido por algum número primo; o que era preciso prova."

Demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética

Teorema

Seja ${\displaystyle a>1}$ um inteiro positivo. Então, existem primos positivos ${\displaystyle {p_{1}}\leq {p_{2}}\leq {...}\leq {p_{t}}}$ tais que ${\displaystyle a=p_{1}p_{2}...p_{t},}$ e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para ${\displaystyle a=2}$ existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro ${\displaystyle {b},\ {2}\leq {b}<a.}$ Mostraremos que também vale para ${\displaystyle a.}$

Se ${\displaystyle a}$ é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário, ${\displaystyle a}$ admite um divisor positivo ${\displaystyle b}$ tal que ${\displaystyle 1<b<a.}$ Isto é, ${\displaystyle a=bc,}$ e temos também ${\displaystyle 1<c<a.}$ Pela hipótese de indução, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ podem ser escritos como produtos de primos, na forma ${\displaystyle b=p_{1}...p_{s},}$ ${\displaystyle c=q_{1}...q_{k}.}$

Substituindo, temos ${\displaystyle a=p_{1}...p_{s}q_{1}...q_{k},}$ e o resultado também vale para ${\displaystyle a.}$

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro ${\displaystyle a,}$ ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de ${\displaystyle a.}$

Suponhamos que ${\displaystyle a}$ admita uma decomposição do tipo ${\displaystyle a=p_{1},}$ onde ${\displaystyle p_{1}}$ é primo, e que vale

${\displaystyle a=p_{1}=q_{1}q_{2}...q_{s},}$

em que ${\displaystyle {q_{1}}\leq {q_{2}}\leq {...}\leq {q_{s}}}$ são primos positivos. Como ${\displaystyle q_{1}}$ divide ${\displaystyle q_{1}q_{2}...q_{s},}$ ${\displaystyle q_{1}}$ também divide ${\displaystyle p_{1},}$ que é primo. Então, devemos ter ${\displaystyle p_{1}=q_{1}.}$ Cancelando, vem ${\displaystyle 1=q_{2}...q_{s}.}$ Se ${\displaystyle s>1,}$ teríamos que o primo ${\displaystyle q_{2}}$ seria invertível, uma contradição. Assim, ${\displaystyle s=1}$ e, como já provamos que ${\displaystyle p_{1}=q_{1},}$ o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento ${\displaystyle {k}\geq {1},}$ e seja ${\displaystyle a}$ um inteiro com uma decomposição de comprimento ${\displaystyle k+1.}$ Se ${\displaystyle a}$ admitisse outra decomposição, temos

${\displaystyle a=p_{1}...p_{k+1}=q_{1}...q_{s},}$

em que ${\displaystyle {q_{1}}\leq {q_{2}}\leq {...}\leq {q_{s}}}$ são primos positivos.

Como na primeira parte, ${\displaystyle q_{1}}$ divide ${\displaystyle p_{1}...p_{k+1}}$ e temos que ${\displaystyle q_{1}}$ divide ${\displaystyle p_{i},}$ para algum ${\displaystyle i}$ (Lema de Euclides). Como ${\displaystyle p_{i}}$ é primo, devemos ter novamente que ${\displaystyle q_{1}=p_{i}.}$ Em particular, ${\displaystyle {q_{1}}\geq {p_{1}}.}$

De forma análoga, pode-se obter que ${\displaystyle p_{1}=q_{j},}$ para algum j. Logo, ${\displaystyle {p_{1}}\geq {q_{1}}.}$ De ambas as desigualdades, vem que ${\displaystyle p_{1}=q_{1}.}$ Finalmente, cancelando em ${\displaystyle a=p_{1}...p_{k+1}=q_{1}...q_{s},}$ temos que

${\displaystyle p_{2}...p_{k+1}=q_{2}...q_{s}.}$

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento ${\displaystyle k,}$ logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos ${\displaystyle k=s-1,}$ donde ${\displaystyle k+1=s}$ e ${\displaystyle p_{i}=q_{i},}$ para ${\displaystyle i=2,...,k+1.}$ Como já provamos que ${\displaystyle p_{1}=q_{1},}$ ambas as expressões de ${\displaystyle a}$ coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de ${\displaystyle a,}$ podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da Aritmética

Seja ${\displaystyle a}$ um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<...<p_{r}}$ e inteiros positivos ${\displaystyle n_{1},n_{2},...,n_{r}}$ tais que ${\displaystyle a=\pm p_{1}^{n_{1}}...p_{r}^{n_{r}}.}$ Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que ${\displaystyle a=\pm |a|,}$ conforme ${\displaystyle a}$ seja positivo ou negativo. Como ${\displaystyle |a|}$ é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos ${\displaystyle {p_{1}}\leq {p_{2}}\leq {...}\leq {p_{t}}}$ tais que

${\displaystyle a=\pm p_{1}p_{2}...p_{t}.}$

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

${\displaystyle a=\pm p_{1}^{n_{1}}...p_{r}^{n_{r}}.}$

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver também

• Teoria dos números
• Número primo

Notas

1. Utilizando produto vazios não é preciso excluir o número 1, e o teorema pode ser expresso como: todo inteiro positivo tem uma única fatoração como produto de primos.

Referências

• Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.
• Garbi, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pela maravilhoso mundo da matemática. 3 ed. rev e ampl. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.
• Euclides. Os Elementos. 1 ed. São Paulo: Editora Unesp,2009.

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