Teorema da decomposição de Helmholtz

No cálculo vetorial, o teorema de Helmholtz afirma que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero suficientemente rápido no infinito. O teorema tem aplicações em muitas áreas da física e da matemática, como eletromagnetismo, cromodinâmica quântica e teoria de análise vetorial. Seu nome é dado em homenagem a Hermann von Helmholtz, médico e físico alemão com relevantes contribuições para a física, fisiologia, psicologia e filosofia.^[1]

Enunciado

Seja um campo vetorial ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ e definamos ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \equiv \mathbf {C} (\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} \equiv D(\mathbf {r} )}$.

Se as seguintes condições são satisfeitas:

${\displaystyle \left(1\right)\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r} )}{1/r^{2}}}=\mathbf {0} }$ e ${\displaystyle \lim _{r\to \infty }{\frac {D(\mathbf {r} )}{1/r^{2}}}=0,}$

${\displaystyle \left(2\right)\lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{1/r}}=\mathbf {0} ,}$

então ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ existe e é definido unicamente por

${\displaystyle \left(3\right)\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} ,}$

com

${\displaystyle \left(4\right)U(\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)\ \ }$  e ${\displaystyle \ \ \mathbf {W} (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right),}$

onde ${\displaystyle {d}\tau '}$ é um elemento infinitesimal de volume e ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ são vetores genéricos no espaço tridimensional.

Demonstração

Sejam ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$, ${\displaystyle \mathbf {W} (\mathbf {r} )}$, ${\displaystyle D(\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {r} )}$ as funções definidas acima. Nosso primeiro objetivo é mostrar que é possível escrever ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} }$, e que se escrito assim, de fato ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =D(\mathbf {r} )}$. Em seguida, vamos mostrar que sob as condições ${\displaystyle \left(1\right)}$ e ${\displaystyle \left(2\right)}$, ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ é único para determinados ${\displaystyle D(\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \mathbf {C} (\mathbf {r} )}$.

Existência de U(r) e W(r)

A primeira questão é se ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \mathbf {W} (\mathbf {r} )}$ são bem definidos, i.e., se as integrais de ${\displaystyle \left(4\right)}$ convergem. Temos, para ${\displaystyle r'/r>>1}$:

${\displaystyle \int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\simeq \int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{r'}}r'^{2}{d}r'=\int D(\mathbf {r'} )r'{d}r'.}$

Essa integral converge se, e somente se, ${\displaystyle D(\mathbf {r'} )}$ cair a zero no infinito mais rápido que ${\displaystyle 1/r'^{2}}$. Essa condição é garantida por ${\displaystyle \left(1\right)}$. O mesmo argumento se aplica à integral de ${\displaystyle \mathbf {W} (\mathbf {r} )}$. Logo, ${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \mathbf {W} (\mathbf {r} )}$ existem.

Divergência de F(r)

Usando o fato de que o divergente de um rotacional é identicamente nulo^[2], qualquer que seja a função sobre a qual a operação é aplicada, temos: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot \left(-\nabla U+\nabla \times \mathbf {W} \right)=\nabla \cdot \left(-\nabla U\right)=\nabla ^{2}\left({\frac {-1}{4\pi }}\int {\frac {D(\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)}$

Como ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ é um operador diferencial em relação a ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e a integral é em relação a ${\displaystyle \mathbf {r'} }$, podemos fazer

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {-1}{4\pi }}\int D(\mathbf {r'} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '={\frac {-1}{4\pi }}\int D(\mathbf {r'} )\left(-4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\right){d}\tau '=\int D(\mathbf {r'} )\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} ){d}\tau '=D(\mathbf {r} ),}$

onde usamos a conhecida propriedade^[3] da função Delta de Dirac:

${\displaystyle \int \mathbf {f} (\mathbf {r'} )\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {a} ){d}\tau '=\mathbf {f} (\mathbf {a} )}$

Logo, como queríamos demonstrar, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =D(\mathbf {r} )}$

Rotacional de F(r)

Uma vez que o rotacional de um gradiente é identicamente nulo^[2], qualquer que seja a função sobre a qual o operador atua, e usando a identidade ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times )=-\nabla ^{2}+\nabla (\nabla \cdot )}$^[2], temos:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times \left(-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} (\mathbf {r} )\right)=\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {W} \right)=-\nabla ^{2}\mathbf {W} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {W} )}$

Como ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ é um operador diferencial em relação a ${\displaystyle \mathbf {r} }$ e a integral é em relação a ${\displaystyle \mathbf {r'} }$, o primeiro termo do lado direito da equação acima fica:

${\displaystyle -\nabla ^{2}\mathbf {W} =-\nabla ^{2}\left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)={\frac {-1}{4\pi }}\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '={\frac {-1}{4\pi }}\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\left(-4\pi \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} )\right){d}\tau '}$

${\displaystyle =\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} ){d}\tau '=\mathbf {C} (\mathbf {r} )}$

Para calcular o segundo termo vamos usar, adicionalmente, integração por partes de campos vetoriais e o fato de que uma derivada de ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}}$ em relação a ${\displaystyle \mathbf {r} }$ difere de uma derivada em relação a ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ por um fator ${\displaystyle (-1)}$:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {W} =\nabla \cdot \left({\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {C} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}{d}\tau '\right)={\frac {1}{4\pi }}\int \mathbf {C} (\mathbf {r'} )\nabla \cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '={\frac {-1}{4\pi }}\int _{V}\mathbf {C} (\mathbf {r'} )\nabla '\cdot \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\right){d}\tau '}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{V}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\nabla '\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r'} ){d}\tau '-\oint _{S}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\mathbf {C} (\mathbf {r'} )\cdot {d}\mathbf {a} \right]}$

Mas, como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, ${\displaystyle \nabla '\cdot \mathbf {C} (\mathbf {r'} )=0}$. Ao mesmo tempo, se escolhermos uma superfície cujos pontos estão todos suficientemente longe da origem, i.e., se fizermos ${\displaystyle r'\rightarrow \infty }$ na integral de superfície da equação acima, teremos

${\displaystyle \oint {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\mathbf {C} (\mathbf {r'} )\cdot {d}\mathbf {a} \rightarrow \oint {\frac {C(r')}{r'}}r'^{2}{d}r'=\oint C(r')r'{d}r'}$

Como as condições ${\displaystyle \left(1\right)}$ garantem que ${\displaystyle C(r')}$ vai a zero mais rápido que ${\displaystyle 1/r'^{2}}$, o integrando, que é constante ao longo da integração se escolhermos como superfície de integração uma esfera, vai a zero. Logo, a integral de superfície também vai a zero, o que dá

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {W} =0}$

Assim, ficamos com ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )}$, como queríamos demonstrar.

Unicidade de F(r)

Até agora demonstramos que é possível escrever ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ como o rotacional de um campo vetorial menos o gradiente de um campo escalar, como na expressão ${\displaystyle \left(3\right)}$. Mas será que essa é a única forma de escrever ${\displaystyle \mathbf {F} }$? Em outras palavras, uma vez determinados o rotacional e o divergente de um campo vetorial ${\displaystyle \mathbf {F} }$, ele está unicamente fixado por ${\displaystyle \left(3\right)}$? A princípio, poderíamos adicionar à ${\displaystyle \mathbf {F} }$ um função cujo rotacional e divergente fossem identicamente nulos. Nada mudaria no que foi argumentado até agora, mas certamente ${\displaystyle \mathbf {F} }$ não seria único. Haveria tantas expressões diferentes para ${\displaystyle \mathbf {F} }$ quanto campos com rotacional e divergente nulo existissem. De fato, existem campos com rotacional e divergente nulo, mas nenhum deles consegue satisfazer a condição ${\displaystyle \left(2\right)}$:

${\displaystyle \lim _{r\to \infty }{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{1/r}}=\mathbf {0} }$.

Ou seja, nenhum campo irrotacional e sem divergência vai a zero no infinito mais rápido que ${\displaystyle r}$^[4].

Uma estratégia para mostrar formalmente a unicidade de ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ é supor que exista uma outra função ${\displaystyle \mathbf {F_{2}} (\mathbf {r} )}$, com o mesmo divergente e rotacional de ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$, e mostrar que ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} -\mathbf {F_{2}} =\mathbf {0} .}$

Temos, então: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F_{2}} =\mathbf {C} (\mathbf {r} )}$ e ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F_{2}} =D(\mathbf {r} ).}$ Logo,

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot (\mathbf {F} -\mathbf {F_{2}} )=D-D=0}$.

Da mesma maneira,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {0} }$

Pela última equação podemos definir ${\displaystyle \mathbf {B} =-\nabla \phi }$ e, substituindo na penúltima, ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =-\nabla \cdot \nabla \phi =0}$

Para duas funções escalares ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$ diferenciáveis, há a identidade ${\displaystyle \nabla \cdot (u\nabla v)=u\nabla \cdot \nabla v+(\nabla u)\cdot (\nabla v)}$. Utilizando-a no teorema da divergência, obtemos:

${\displaystyle \int _{V}u\nabla \cdot (\nabla v){d}\tau +\int _{V}(\nabla u)\cdot (\nabla v){d}\tau =\int _{V}\nabla \cdot (u\nabla v){d}\tau =\oint _{S}(u\nabla v)\cdot {d}\mathbf {a} }$

Se fizermos ${\displaystyle u=v=\phi }$, ficamos com

${\displaystyle \int _{V}\phi \nabla \cdot (\nabla \phi ){d}\tau +\int _{V}(\nabla \phi )\cdot (\nabla \phi ){d}\tau =\oint _{S}(\phi \nabla \phi )\cdot {d}\mathbf {a} }$

A primeira integral é nula, pois ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \phi =0.}$ A integral de área, lado direito da equação, é nula pelas condições ${\displaystyle \left(1\right)}$. Logo, resta:

${\displaystyle \int _{V}(\nabla \phi )\cdot (\nabla \phi ){d}\tau =0}$.

Como a igualdade vale qualquer que seja o volume ${\displaystyle V}$ escolhido, e o produto ${\displaystyle (\nabla \phi )\cdot (\nabla \phi )=\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =B^{2}}$ nunca é negativo, concluímos que ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} .}$ Desse modo, como queríamos demonstrar:

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {F} -\mathbf {F_{2}} =\mathbf {0} .}$

E fica provado que, uma vez determinado o rotacional e o divergente de um campo vetorial ${\displaystyle \mathbf {F} }$, e sob as condições ${\displaystyle \left(1\right)}$ e ${\displaystyle \left(2\right)}$, este existe e é dado pela expressão ${\displaystyle \left(3\right)}$ de forma única.^[5]

Funções potenciais^[4]

O conceito de potencial é útil em muitas situações, em física^[6]. O Teorema de Helmholtz tem alguns corolários extremamente importantes.

Campos vetoriais irrotacionais

Se ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0}$ em todo o espaço, e sabendo que o rotacional do gradiente é identicamente nulo, temos:

${\displaystyle \nabla \times \left(-\nabla U(\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {W} \right)=\nabla \times \nabla \times \mathbf {W} =0\Rightarrow \mathbf {W} =0}$

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o gradiente de um campo escalar: ${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \varphi (\mathbf {r} ).}$

Chamamos a função escalar ${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )}$ de potencial escalar.

Pelo teorema de Stokes, ${\displaystyle \int _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {a} =\oint _{C}\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =0.}$ Logo, uma integral de linha de um campo irrotacional num circuito fechado é identicamente nula. Isso implica qualquer integral de linha que comece e termine no mesmo ponto ser independente do caminho, pois se uma integral começa em ${\displaystyle \mathbf {a} }$ e termina em ${\displaystyle \mathbf {b} }$, e uma outra integral começa em ${\displaystyle \mathbf {b} }$ e termina em ${\displaystyle \mathbf {a} }$, a soma das duas dá uma integral de linha num caminho fechado, que é identicamente nula. Logo:

${\displaystyle \int _{\mathbf {a\rightarrow c1} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} +\int _{\mathbf {b\rightarrow c2} }^{\mathbf {a} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =\int _{\mathbf {a\rightarrow c1} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} -\int _{\mathbf {a\rightarrow c2} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =0\Rightarrow \int _{\mathbf {a\rightarrow c1} }^{\mathbf {b} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} =\int _{\mathbf {b\rightarrow c2} }^{\mathbf {a} }\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {l} }$

Ou seja, a integral de linha é independente do caminho.

Campos vetoriais sem divergência

Se ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =0}$ em todo o espaço, e sabendo que o divergente do rotacional é identicamente nulo, temos:

${\displaystyle \nabla \cdot \left(-\nabla U+\nabla \times \mathbf {W} \right)=-\nabla \cdot \left(\nabla U\right)=0\Rightarrow \nabla U=0}$

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o rotacional de um campo vetorial: ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$.

Chamamos a função vetorial ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$ de potencial vetor.

Pelo teorema da divergência, ${\displaystyle \int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} {d}\tau '=\oint _{S}\mathbf {F} \cdot {d}\mathbf {a} =0.}$ Logo, no fluxo de um campo sem divergência numa superfície fechada é identicamente nulo.

Podemos mostrar, também, que qualquer integral de superfície, cuja superfície de integração esteja apoiada num mesmo contorno C, tem o mesmo valor. Ou seja, uma integral de superfície de um campo sem divergência não depende da superfície, para um dado contorno de apoio.

Aplicação em eletromagnetismo

A informação de que um campo vetorial está unicamente fixado pelo seu divergente e rotacional é de fundamental importância para a teoria eletromagnética. Toda a informação física relevante dos fenômenos eletromagnéticos é tirada de quatro equações diferenciais, as Equações de Maxwell, que envolvem precisamente o divergente e o rotacional dos campos vetoriais elétrico e magnético. São elas:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}$ (Lei de Gauss)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$ (Lei de Faraday-Neumann-Lenz)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ (Ausência de monopolos magnéticos)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$ (Lei de Ampère)

Além disso, o conceito desenvolvido acima de potencial escalar e potencial vetor simplifica a solução de muitos problemas físicos.^[4]

Ligações externas

• Teorema de Helmholtz em WolframMathWorld (em inglês).
• Teorema de Helmholtz em Utexas (em inglês).

Referências

1. Cahan, D., Hermann von Helmholtz and the Foundations of Nineteenth-Century Science, 1a ed. California: University of California Press (1993).
2. Davis, H. F. e Snider, A. D., Introduction to Vector Analysis, 7a ed. Boston: Allyn & Bacon (1995).
3. Boas, M.L., Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3a ed. Hoboken: Wiley (2005).
4. Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, 3a ed. New Jersey: Benjamin Cummings (1999).
5. Arfken, G. B., Weber H. J. e Harris F. E., Mathematical Methods for Physicists, 6a ed. California: Academic Press (2005).
6. Marion, J.B. e Thornton, S.T., Classical Dynamics of Particles and Systems, 5a ed. California: Brooks Cole (2003).