Gravidade quântica em loop

Além do Modelo Padrão
Simulação do Grande Colisor de Hádrons detectando um bóson de Higgs, produzido pela colisão de prótons.
Modelo padrão
Evidência Problema da hierarquia Matéria escura Problema da constante cosmológica Problema da forte simetria CP Oscilação de neutrinos
Teorias Technicolor Teoria_Kaluza-Klein Grande teoria unificada Teoria de tudo Teoria das cordas Teoria do vácuo superfluido
Supersimetria Modelo Padrão Supersimétrico Mínimo Teoria das supercordas Supergravitação
Gravidade quântica Teoria das cordas Gravidade Quântica em Loop Triangulação Dinâmica Causal Gravidade Quântica Canônica Teoria do Vácuo Superfluido Conjunto causal
Experimentos Gran Sasso INO LHC SNO Super-K Tevatron
v d e

A teoria da Gravidade Quântica em Loop, Gravitação Quântica em Loop ou Gravitação Quântica em Laços, abreviada para LQG (do inglês loop quantum gravity), também é conhecida como gravidade em loop. Trata-se de uma teorização em geometria quântica, sendo uma teoria quântica de espaço-tempo proposta com o objetivo de reconciliar as evidentes incompatibilidades teóricas da Mecânica Quântica e da Relatividade Geral.

Resumidamente, nessa teoria os estados quânticos do espaço permitidos estão relacionados a diagramas de linhas e de "nós" chamados de redes de spin. O espaço-tempo quântico corresponde a diagramas similares chamados espumas de spin.

Esta teoria é uma de uma família de teorias chamada gravidade quântica canônica. A técnica de quantização em loop foi desenvolvida para a quantização não perturbativa do difeomorfismo-invariante teoria gauge. Em termos mais simples, LQG tenta estabelecer um teoria quântica da gravidade na qual os outros fenômenos físicos sejam quantizados.

Gravidade Quântica em Loop (LQG) é uma teoria proposta de espaço-tempo que é construída com a ideia da quantização do espaço-tempo via a matematicamente rigorosa teoria da quantização em loop. Ela preserva muitas das mais importantes ideias da relatividade geral, enquanto ao mesmo tempo emprega a quantização tanto do espaço e do tempo na escala de Planck na tradição da mecânica quântica.

LQG não é a única teoria da gravidade quântica. Os críticos desta teoria dizem que LQG é uma teoria da gravidade e nada mais, embora alguns teóricos da LQG tentem mostrar que a teoria pode descrever a matéria igualmente bem. Há outras teorias de gravidade quântica, e uma lista delas pode ser encontrada na página da gravidade quântica.

Gravidade Quântica em Loop em Geral, e suas ambições

Muitos teóricos das cordas acreditam que é impossível quantizar a gravidade em 3+1 dimensões sem criar artifícios de matéria e energia. Isto não é ainda provado, e também é ainda não provado que os artifícios sobre a matéria, preditos pela teoria das cordas, sejam exatamente os mesmos da matéria observável. Se LQG apresenta-se como uma teoria quântica da gravidade, os campos da matéria conhecidos deveriam ter de ser incorporados na teoria a posteriori. Lee Smolin, um dos autores originais da LQG (assim como Loll, Bilson-Thompson, Freidel, Wise e outros) tem explorado a possibilidade que a teoria das cordas e a LQG são duas diferentes aproximações da mesma teoria final.

As principais qualidades da gravidade quântica em loop são:

1. É uma quantização não perturbativa de geometria de espaço-3, com operadores área e volume quantizados.
2. Inclui o cálculo da entropia de buracos negros.
3. É uma viável alternativa a teoria das cordas apenas para a gravidade.

Entretanto, estas afirmações não são universalmente aceitas. Enquanto muitos dos resultados centrais são rigorosos pela física matemática, suas interpretações físicas permanecem especulativas. LQG deve possivelmente ser viável com um refinamento do trato da gravidade ou sua geometria. Por exemplo, a entropia calculada em (2) é para um tipo de buraco que possa, ou não possa, ser um buraco negro.

Algumas abordagens alternativas a gravidade quântica, tais como os modelos de "espuma de spin", são relacionados proximamente a gravidade quântica em loop.

A Incompatibilidade Entre Mecânica Quântica e a Relatividade Geral

Teoria quântica de campos estudada sobre cenários curvados (não-Minkowskianos) tem mostrado que algumas das suposições centrais devem ser modificadas. Em particular, o vácuo, quando ele existe, mostra-se depender do trajeto do observador através do espaço-tempo (veja efeito Unruh). Enquanto o efeito Unruh pode ser descrito no caso de um cenário geométrico fixo sobre o qual propagam-se graus de liberdade não gravitacionais, tenta-se resolver problemas centrais - onde uns permitem graus de liberdade gravitacionais tais como a propagação dos grávitons - com os quais usuais métodos da teoria quântica de campos são matematicamente problemáticos. Em particular, se percebe que a teoria é não renormalizável, um termo técnico que implica que há infinitamente mais parâmetros livres na teoria e logo, não podem ser previstos.

História da LQG

Em 1986, Abhay Ashtekar reformulou as equações de campo da relatividade geral de Einstein usando o que veio a ser conhecido como variáveis Ashtekar, um caso particular da teoria Einstein-Cartan com uma conexão. Ele estava apto a quantizar a gravidade usando a teoria gauge de campo. Na formulação de Ashtekar, os objetos fundamentais são um parâmetro de medida para o transporte paralelo (tecnicamente, uma conexão) e um quadro de coordenadas (chamado um formalismo de Cartan) em cada ponto. Porque a formulação Ashtekar é independente de cenário, foi possível usar os loops de Wilson como bases de uma quantização não perturbativa da gravidade. Invariância (espacial) explícita do difeimorfismo do estado do vácuo representa um guia essencial na regularização dos estados dos loops de Wilson.

Em torno de 1990, Carlo Rovelli e Lee Smolin obtiveram uma base explícita de estados da geometria quântica, a qual veio a ser nomeada como redes de spins de Penrose. Neste contexto, redes de spin de Penrose como uma generalização de "loops" de Wilson necessários ao trato com loops mutuamente intersectantes. Matematicamente, redes de spin são relacionadas a teoria da representação de grupos e podem ser usados para construir invariantes de nós tais como os polinômios de Jones.

Sendo relacionada de maneira próxima a teoria topólogica do campo quântico e a teoria da representação de grupo, LQG é mais estabelecida ao nível do rigor da física matemática.

Os Ingredientes da Gravidade Quântica em Loop

Quantização em "Loop"

No núcleo da gravidade quântica em loops está uma estrutura para a quantização não perturbativa de teorias de gauge de difeomorfismo-invariante, das quais uma pode ser chamada de quantização em loop. Quando originalmente desenvolvida com a meta de quantizar o vácuo na relatividade geral em 3+1 dimensões, o formalismo pode acomodar arbitrariamente dimensionalidades espaço-temporais, férmions,^[1] um arbitrário grupo gauge (ou uniforme grupo quântico), e supersimetria,^[2] e resulta numa quantização da cinemática da correspondente teoria de gauge do difeomorfismo-invariante. Muito trabalho resta a ser feito em dinâmica, a limitação clássica e o correspondente princípio, todos os quais são necessários de uma maneira ou outra em acordo com as experimentações.

No conjunto, a quantização em loop é o resultado da aplicação de quantização C*-algébrica a álgebra não-canônica de observáveis invariâncias gauge clássicas. Não-canônica significa que as quantizações básicas observáveis não são coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados. Em lugar disso, a álgebra gerada pela rede de spins observáveis (construídos de holonomias) e fluxos de campos de força são usados.

Técnicas de quantização em loop são particularmente bem sucedidas em tratar com teorias da topologia de campos quânticos, onde elas são sustentação a modelos "soma-de-estado"/"espuma-de-spin" tais como o modelo Turaev-Viro da relatividade geral 2+1 dimensional. Uma muito estudada teoria topológica de campo quântico é a assim chamada teoria BF em 3+1 dimensões. Desde que a relatividade geral clássica pode ser formulada como uma teoria BF com confinamentos, cientistas esperam que uma quantização consistente da gravidade possa emergir da teoria da perturbação de modelos BF de "espuma de spin".

Esta estrutura discreta deve requerer modificações de mecanismos quânticos, e uma linha de pesquisa chamada mecânica quântica polimérica tem sido seguida.

Invariância de Lorentz

Ver artigo principal: Covariância de Lorentz

LQG é uma quantização de uma teoria lagrangeana de campos clássica a qual é equivalente a usual teoria Einstein-Cartan em que conduz as mesmas equações do movimento descritas na relatividade geral com torção. Como tal, pode-se discutir que LQG respeita a invariância local de Lorentz. A invariância Global de Lorentz é quebrada em LQG apenas como na relatividade geral. Uma constante cosmológica positiva pode ser obtida em LQG por substituir o grupo de Lorentz com o correspondente grupo quântico.

Invariância do Difeomorfismo e "Independência de Cenário"

Covariância geral

Definição

Covariância geral é a invariância das leis físicas sob transformações de coordenadas arbitrárias. Esta condição é mais notável no contexto da relatividade geral aonde ela tem profundas implicações, como apontado já pelos trabalhos de Einstein. O argumento é simples e claro envolve somente o mais básico da RG.

As equações diferenciais

Inicialmente faz-se o destaque da equação diferencial SHO dupla:

Eq(1) ${\displaystyle {\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}+f(x)=0}$

Eq(2) ${\displaystyle {\frac {d^{2}g(y)}{dy^{2}}}+g(y)=0}$

exceto na Eq(1) a variável independente é x e em Eq.(2) a variável independente é ${\displaystyle y}$. Uma vez que se encontre uma solução para Eq.(1) em ${\displaystyle f(x)=\cos x}$, imediatamente sabe-se que ${\displaystyle g(y)=\cos y}$ soluciona Eq.(2). Esta observação matemática combinada com a covariância geral tem profundas implicações para a RG.

As soluções para a gravidade

Supõe-se isoladamente a gravidade primeiro. Diz-se que tem-se dois sistemas de coordenadas, ${\displaystyle x}$-coordenadas e ${\displaystyle y}$-coordenadas. A covariância geral exige que as equações do movimento tenham a mesma formulação em ambos os sistemas de coordenadas, isto é, tem-se as mesmas equações diferenciais para resolver em ambos os sistemas de coordenadas exceto na variável ${\displaystyle x}$ e na outra variável independente que é ${\displaystyle y}$. Uma vez que encontra-se uma função métrica ${\displaystyle g_{ab}(x)}$ que resolva a EQM nas coordenadas ${\displaystyle x}$ imediatamente conhece-se (por exatamente a mesma razão que acima) que a mesma função escrita como uma função de ${\displaystyle y}$ resolve a EOM nas coordenadas ${\displaystyle y}$. Como ambas as funções métricas tem a mesma forma funcional mas pertencem a diferentes sistemas de coordenadas, elas impõe diferentes geometrias espaço-tempo. Então ter-se-á gerado uma segunda solução distinta que apresenta uma dificuldade.

Afirmando-se que os dois sistemas coordenados coincidam no início, mas em algum ponto após ${\displaystyle t=0}$ permite-se que difiram. Tem-se então duas soluções, ambas com as mesmas condições iniciais ainda que imponham diferentes geometrias espaço-tempo. A conclusão é que RG não determina o tempo próprio entre pontos do espaço tempo.

Tal argumento (ou ainda um refinamento dele) é conhecido como "argumento do furo de Einstein". É necessário incluir a matéria - quando tem-se um grande conjunto de equações diferenciais mas estas ainda têm a mesma forma em todos os sistemas de coordenadas, o mesmo argumento aplica-se e novamente obtêm-se duas soluções com as mesmas condições iniciais as quais impõe-se diferentes geometrias espaço-tempo. É muito importante notar-se que deve-se não gerar estas soluções extras distintas se o espaço-tempo foi fixado não-dinâmico, e então a solução ao "argumento do furo", de uma independência de cenário, somente se aproximará quando o espaço-tempo for dinâmico.

As soluções extras

Antes de poder-se entender esta solução precisa-se entender estas soluções extras. Pode-se interpretar estas soluções como segue.

Para simplificar primeiramente assume-se que não há matéria. Define-se uma função métrica ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ab}}$ da qual o valor ${\displaystyle P}$ é dado pelo valor de ${\displaystyle g_{ab}}$ em ${\displaystyle P_{0}}$, i.e.

Eq(3) ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ab}(P)=g_{ab}(P_{0})}$

(ver figura 1(a)).

Agora considere-se um sistema de coordenadas no qual se assume para ${\displaystyle P}$ os mesmos valores de coordenadas que ${\displaystyle P_{0}}$ tem nas coordenadas x (ver figura 1(b)). Então tem-se

Eq(4) ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ab}(y_{0}=u_{0},y_{1}=u_{1},y_{2}=u_{2},y_{3}=u_{3})=g_{ab}(x_{0}=u_{0},x_{1}=u_{1},x_{2}=u_{2},x_{3}=u_{3}),}$

onde ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},u_{3}}$ são os valores de coordenadas de ${\displaystyle P_{0}}$ no sistema de coordenadas x.

Conclusões

Quando reserva-se os valores de coordenadas a escala sobre todos os valores permissíveis, Eq(4)é precisamente a condição que as duas funções métricas têm a mesma forma funcional. Vê-se que a nova solução é gerada por "arrastar" a função métrica original sobre a distribuição espaço-tempo quando mantem-se as linhas de coordenadas "unidas", ver Fig 1.

É importante mostrar que não realiza-se uma transformação de coordenadas, isto é conhecido como um difeomorfismo ativo (transformadas de coordenadas são chamadas difeomorfismos passivos). É fácil visualizar isso quando tem-se a situação atual, simultaneamente realizando um difeomorfismo ativo sobre os campos gravitacionais e materiais gerando a nova solução distinta.

Mais detalhes e discussões podem ser encontradas no livro de Rovelli ou nos artigos de Rovelli e Gaul^[3] e por Smolin.^[2]

A resolução de Rovelli

A resolução do argumento do buraco (normalmente tomado do livro de Rovelli) é como se segue. Como a RG não determina a distância entre dois pontos no espaço-tempo, como os campos gravitacionais e materiais são localizados sobre o espaço-tempo, e então os seus valores são em pontos espaço tempo, podem não ter significado físico.

O que a RG determina, entretanto, são as mútuas relações que existe, entre os campos gravitacionais e os campos materiais (em outras palavras, o valor do campo gravitacional onde o campo material toma tal e tal valor). Destas mútuas relações pode-se formar uma noção da matéria sendo localizada com respeito ao campo gravitacional e vice-versa, (ver o livro de Rovelli para a esta exposição). O que Einstein descobriu foi que as entidades físicas são localizadas com respeito uma a outra somente e não com respeito a distribuição (textura ou cenário) espaço-tempo. Esta é o que é tratado como independência de cenário.

Einstein aqui chega a afirmar em suas anotações "que foi além de minhas mais selvagens expectativas".

Desde que o Argumento do Buraco é uma consequência da covariância geral na RG, isto levou Einstein a apresentar:

"Que esta exigência da covariância geral, que se faz examinar afastada do espaço e cronometra o último resto da objetividade física, é natural,.."^[4]

A preservação da simetria

LQG preserva esta simetria sob difeomorfismos ativos por requerer que os estados físicos se mantenham invariantes sob os geradores dos difeomorfismos ativos. A interpretação desta condição é bem entendida por difeomorfismos ativos puramente espaciais. Entretanto, o entendimento de difeomorfismos ativos envolve o tempo (o confinamento Hamiltoniano)) é mais sutil porque é relacionado é relacionado a dinâmica e então chamada de problema do tempo na relatividade geral. Uma metodologia de cálculo computacional geralmente aceita para calcular este confinamento está ainda para ser encontrada.

O termo "difeomorfismo ativo" tem sido usado, no lugar de somente "difeomorfismo", para enfatizar que este não é um caso de simples transformação de coordenadas. Ele é difeomorfismo ativo os quais são as transformações de gauge da RG, eles não deve ser confundido com a liberdade de escolha de coordenadas sobre o espaço-tempo M. Invariância sob transformação de coordenadas não é uma apresentação especial da RG como todas as teorias físicas são invariantes sob transformações de coordenadas. (Certamente, a definição matemática de um difeomorfismo é uma transformação a qual distribuições relacionadas com topologias equivalentes e estrutura diferenciáveis, mas não necessariamente métricas equivalentes. Por exemplo, um difeomorfismo pode transformar uma rosquinha em uma xícara.)

Se ou não a invariância de Lorentz é quebrada no limite de baixa energia da GQL, a teoria é formalmente independente de cenário. As equações da GQL não estão mergulhadas neste, ou pressupostas, exceto para sua topologia invariante. Em vez disto, espera-se que chegue-se a tratamento do espaço e tempo em distâncias as quais são grandes se comparadas ao comprimento de Planck. No presente, mantem-se não provado que a descrição do espaço tempo da GQL na escala Planckiana tem o limite correto de continuidade, descrito pela relatividade geral com possíveis correções quânticas.

O estado atual desta questão

Embora um número de teóricos das cordas tenham aderido à conceituação de independência de cenário e expressado que ele representa pouco, se algum, papel na sua visão de uma teoria quântica da gravidade, Edward Witten tem falado da necessidade de uma formulação independente de cenário da teoria das cordas um bom número de vezes, por exemplo, em 1993:

"Procurando a correta estrutura para uma intrínseca, formulação independente de cenário da teoria das cordas é um dos principais problemas neste assunto, e tem-se mantido fora de alcance." ... "Este problema é fundamental porque é aqui que realmente está a questão de que tipo de objeto geométrico a corda representa."^[5]

Argumentos sobre a necessidade de uma formulação independente de cenário da teoria das cordas pode ser encontrada no artigo de Lee Smolin.^[2]

GQL e a singularidade do Big Bang

Ver artigo principal: Cosmologia quântica em loop

Abhay Ashtekar e Martin Bojowald têm apresentado artigos afirmando que de acordo com a gravidade quântica em loop, a singularidade do Big Bang é evitada. O que os pesquisadores procuram seria um prévio universo colapsante. Desde que a gravidade tornou-se repulsiva próximo da densidade de Planck de acordo com suas simulações, este resultou em um "Big Bounce" e o nascimento de nosso corrente universo.^[6] Estes tópicos são uma pesquisa ativa em cosmologia quântica em loop. Entretanto estes resultados envolvem uma truncagem da teoria e então não propriamente aplicável a gravidade quântica em loop em si.

LQG e a Física de Partículas

Ver artigo principal: préon

Existem recentes anúncios de que a gravitação quântica em loop pode ser hábil a reproduzir características que assemelham-se ao Modelo Padrão. Assim tão somente a primeira geração de férmions (léptons e quarks) com corretas propriedades de paridade tem sido modeladas por Sundance Bilson-Thompson usando préons constituídos de entrelaçamentos de espaço-tempo como blocos de construção.^[7] Entretanto, não há derivação da Lagrangiana que deveria descrever as interações de tais partículas, nem que seja possível mostrar que tais partículas são férmions, nem que os grupos gauge ou interações do Modelo Padrão são resolvidos. Utilização de conceitos de computação quântica fazem possível demonstrar que as partículas são hábeis a sobreviver a flutuações quânticas.^[8] Outros resultados recentes sugerem que a estrutura da GQL pode permitir a derivação de certos bósons de spin-1 tais como o fóton, e glúon, e possivelmente o gráviton, de spin-2. Esta linha de pesquisa segue o paradigma reducionista de buscar um bloco de construção de partículas elementares.

Xiao-Gang Wen e Michael Levin são dois físicos de estado sólido que tem tentado modelar partículas elementares tais como os elétrons e fótons como resultantes de uma discreta estrutura em rede de espaço-tempo em analogia a fonons em física de estado sólido. Eles tentam modelar partículas elementares como propriedades emergentes de uma condensação de rede de cordas em analogia a fônons para reproduzir o Modelo Padrão como o resultado de um ambiente coletivo de um grupo de redes de spin.^[9][10] Esta abordagem difere da abordagem por preons, na qual Wen e Levin veem as partículas como uma propriedade emergente do espaço-tempo quântico, melhor que o construído sobre menores subestruturas como é o caso com o a teoria dos preons de Bilson-Thompson's.

Independentemente da discussão acima, existem várias propostas sobre como incorporar férmions (matéria) na estrutura da GQL. Uma única estrutura que possa englobar ao modelo padrão e a gravidade é conhecida em física como uma teoria de tudo.

Parece atualmente que nada proíbe acoplar - por exemplo, inconsistente sob a mecânica quântica - férmions quirais anômalos à GQL.

LQG e a Gráviton

Tem havido recentes resultados em GQL usando o formalismo da "espuma de spin" de Carlo Rovelli, Eugenio Bianchi, Leonardo Modesto, e Simone Speziale^[11][12]que a GQL faz surgir grávitons, e levem tais grávitons a interagir como esperado, reproduzindo a Lei de Newton da gravidade.

O Estado Kodama

Ver artigo principal: Immirzi parameter

Em 1988, Hideo Kodama escreveu sobre as equações do estado Kodama, mas como foi descrito como um espaço-tempo (universo de Sitter) positivo, o qual acreditava-se como inconsistente com as observações, foi em geral ignorado.

Artigo de Lee Smolin, "Quantum gravity with a positive cosmological constant"^[13] sugeriu que o estado Kodama é um estado básico o qual tem um bom limite semiclássico o qual reproduz a dinâmica da relatividade geral com uma constante cosmológica (de Sitter) positiva, 4 dimensões, e grávitons, e é uma solução exata para contrastes ordinários sobre um fundo de gravidade quântica independente, provendo evidências de que a gravidade quântica em loop é certamente uma gravidade quântica com a correta descrição semiclássica. Edward Witten publicou um artigo em resposta ao de Lee Smolin, argumentando que o estado Kodama é não-físico, fazendo uma analogia ao estado na função de onda resultante em energia negativa da teoria de Chern-Simons,^[14] e citando o artigo de Smolin. Recentemente, Andrew Randono publicou dois artigos que citam o artigo de Witten,^[15][16] e referiu-se a estas objeções, pela generalização ao estado Kodama, com a conclusão que o parâmetro Immirzi, quando generalizado com um valor real, reparado por combinação com entropia de buraco negro, descreve uma violação de paridade na gravitação quântica, e é invariante CPT, e é normalizável, e quiral, consistente com observações conhecidas tanto da gravidade quanto da teoria de campos quântica. O produto interno em física pode assemelhar-se à teoria MacDowell-Mansouri de formulação da gravidade. Eyo Eyo Ita publicou artigos que são construídos sobre o estado de Kodama generalizado de Randono, e discute que um estado de Kodama generalizado pode ser construído e que isso pode acoplar a matéria e o confinamento Hamiltoniano pode reproduzir a dinâmica da relatividade geral, resultando em uma finita e completa gravidade quântica.^{[17][18][19][20][21]}

Problemas

Por enquanto tem sido uma proposta recente relacionada à observação de singularidades nuas,^[22] juntamente com a relatividade especial dupla, fazendo parte de um programa chamado cosmologia quântica em loop, até agora não há qualquer observação experimental para a qual a gravidade quântica em loop faça uma previsão não feita pelo Modelo Padrão ou relatividade geral. Este problema atinge todas as correntes teóricas da gravidade quântica (exceto aqueles que têm sido provados como errados).

Igualmente fazer predições da teoria da GQL tem sido extremamente difícil computacionalmente, também um problema recorrente com outras teorias modernas em física.

Outro problema é que um parâmetro livre crucial na teoria, conhecido como parâmetro Immirzi pode somente ser calculado por ajustamento com o cálculo da entropia de buraco negro de Bekenstein e Hawking. Gravidade quântica em loop prevê que a entropia de um buraco negro é proporcional à área do horizonte dos eventos, mas não obtém a fórmula de Bekenstein-Hawking S = A/4 sem que o parâmetro Immirzi seja escolhido para obter-se este valor. Uma predição diretamente da teoria seria preferível.

Presentemente, nenhum limite semiclássico substituindo a relatividade geral tem mostrado existir. Isto significa ainda não foi provado que a descrição do espaço-tempo da LQG na escala de Planck tem o limite correto de continuidade, descrita pela relatividade geral com possíveis correções quânticas. Especificamente, a dinâmica da teoria é codificada na restrição Hamiltoniana, mas não há um candidato Hamiltoniano (mecânica quântica).^[23]

Referências

1. John Baez e Kirill Krasnov
2. Smolin, Lee. «The case for background independence». hep-th/0507235 
3. Gaul, Marcus; Carlo Rovelli (2000). «Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance». Lect.Notes Phys. 541: 277-324  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
4. Einstein, Albert; H. A. Lorentz, H. Weyl, and H. Minkowski (1916). The Principle of Relativity. [S.l.: s.n.] 117 páginas  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
5. Witten, Edward. «Quantum Background Independence In String Theory». Report-no: IASSNS-HEP-93/29 
6. «Researchers Look Beyond the Birth of the Universe». Eberly College of Science. 12 de maio de 2006 
7. Bilson-Thompson, Sundance O.; Markopoulou,Fotini; Smolin, Lee. «Quantum gravity and the standard model»  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
8. Castelvecchi, Davide; Valerie Jamieson (2006). «You are made of space-time». New Scientist (2564)  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
9. Levin, Michael; Wen, Xiao-Gang : Photons and electrons as emergent phenomena (23 Sep 2005) http://arxiv.org/abs/cond-mat/0407140 page 8 "loop quantum gravity appears to be a string net condensation..."
10. Konopka, Tomasz; Markopoulou, Fotini; Smolin, Lee : Quantum Graphity http://arxiv.org/abs/hep-th/0611197 page 3: "we argue, but do not prove, that loop quantum gravity's spin networks can reproduce Wen's and Levin's string net condensation"
11. Bianchi, Eugenio; Leonardo Modesto, Carlo Rovelli, Simone Speziale (2006). «Graviton propagator in loop quantum gravity». Class.Quant.Grav. 23: 6989-7028. Arxiv  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
12. Rovelli, Carlo (2005). «Graviton propagator from background-independent quantum gravity». Phys.Rev.Lett. 97. 151301 páginas. Arxiv 
13. Smolin, Lee (2002). «Quantum gravity with a positive cosmological constant». Arxiv 
14. Witten, Edward (2003). «A Note On The Chern-Simons And Kodama Wavefunctions»  Texto " Arxiv" ignorado (ajuda)
15. Randono, Andrew (2006). «Generalizing the Kodama State I: Construction». Arxiv 
16. Randono, Andrew (2006). «Generalizing the Kodama State II: Properties and Physical Interpretation». Arxiv 
17. Ita III, Eyo Eyo (2007). «Existence of generalized Kodama quantum states. III. A new approach to finite, full quantum gravity». Arxiv 
18. Ita III, Eyo Eyo (2007). «Existence of generalized Kodama states. IV. The search for a quantization of 4-dimensional gravity». Arxiv 
19. Ita III, Eyo Eyo (2007). «The canonical versus path integral quantization approach to generalized Kodama states (Part I)». Arxiv 
20. Ita III, Eyo Eyo (2007). «The canonical versus path integral quantization approach to generalized Kodama states (Part II)». Arxiv 
21. Ita III, Eyo Eyo (2007). «The path integral approach to generalized Kodama states in the source current basis (Part III)». Arxiv 
22. «404 error». Institute of Physics. Consultado em 19 de agosto de 2006 
23. Hermann Nicolai, Kasper Peeters, Marija Zamaklar; Loop quantum gravity: an outside view; Class.Quant.Grav.22:R193,2005; DOI 10.1088/0264-9381/22/19/R01

Bibliografia

• Revisões
  • Carlo Rovelli, Loop Quantum Gravity, Living Reviews in Relativity 1, (1998), 1, online article, 2001 15 August version. (em inglês)
  • Thomas Thiemann, Lectures on loop quantum gravity, e-print disponível em gr-qc/0210094 (em inglês)
  • Abhay Ashtekar e Jerzy Lewandowski, Background independent quantum gravity: a status report, e-print disponível em gr-qc/0404018 (em inglês)
  • Carlo Rovelli e Marcus Gaul, Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance, e-print disponível em gr-qc/9910079. (em inglês)
  • Lee Smolin, The case for background independence, e-print disponível em hep-th/0507235. (em inglês)
  • Martin Bojowald; Loop Quantum Cosmology; Living Rev. Relativity 11, (2008) - relativity.livingreviews.org

• Livros populares:
  • Julian Barbour, The End of Time
  • Lee Smolin, Three Roads to Quantum Gravity
  • Carlo Rovelli, Che cos'è il tempo? Che cos'è lo spazio?, Di Renzo Editore, Roma, 2004. tradução para o francês: Qu'est ce que le temps? Qu'est ce que l'espace?, Bernard Gilson ed, Brussel, 2006. tradução para o inglês: What is Time? What is space?, Di Renzo Editore, Roma, 2006.

• Artigos em periódicos de divulgação científica:
  • Lee Smolin, "Atoms in Space and Time," Scientific American, January 2004
  • Martin Bojowald; Relatos de um Universo Oscilante; Scientific American Brasil; Ed. 78; NOV/2008

• Introduções simples, exposições ou críticas:
  • Abhay Ashtekar, Gravity and the quantum, e-print disponível em gr-qc/0410054 (em inglês)
  • John C. Baez and Javier Perez de Muniain, Gauge Fields, Knots and Quantum Gravity, World Scientific (1994)
  • Carlo Rovelli, A Dialog on Quantum Gravity, e-print disponível em hep-th/0310077 (em inglês)

• Introduções e/ou exposições de trabalhos mais avançados:
  • Carlo Rovelli, Quantum Gravity, Cambridge University Press (2004); draft available online (em inglês)
  • Thomas Thiemann, Introduction to modern canonical quantum general relativity, e-print disponível em gr-qc/0110034 (em inglês)
  • Abhay Ashtekar, New Perspectives in Canonical Gravity, Bibliopolis (1988).
  • Abhay Ashtekar, Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity, World Scientific (1991)
  • Rodolfo Gambini e Jorge Pullin, Loops, Knots, Gauge Theories and Quantum Gravity, Cambridge University Press (1996)
  • Hermann Nicolai, Kasper Peeters, Marija Zamaklar, Loop quantum gravity: an outside view, e-print disponível em hep-th/0501114 (em inglês)
  • "Loop and Spin Foam Quantum Gravity: A Brief Guide for beginners arXiv:hep-th/0601129 H. Nicolai and K. Peeters. (em inglês)
  • Edward Witten, Quantum Background Independence In String Theory, e-print disponível em hep-th/9306122. (em inglês)

• Conferências:
  • John C. Baez (ed.), Knots and Quantum Gravity

• Artigos fundamentais de pesquisa:
  • Abhay Ashtekar, New variables for classical and quantum gravity, Phys. Rev. Lett., 57, 2244-2247, 1986
  • Abhay Ashtekar, New Hamiltonian formulation of general relativity, Phys. Rev. D36, 1587-1602, 1987
  • Roger Penrose, Angular momentum: an approach to combinatorial space-time em Quantum Theory and Beyond, ed. Ted Bastin, Cambridge University Press, 1971
  • Carlo Rovelli e Lee Smolin, Knot theory and quantum gravity, Phys. Rev. Lett., 61 (1988) 1155
  • Carlo Rovelli e Lee Smolin, Loop space representation of quantum general relativity, Nuclear Physics B331 (1990) 80-152
  • Carlo Rovelli e Lee Smolin, Discreteness of area and volume in quantum gravity, Nucl. Phys., B442 (1995) 593-622, e-print disponível em gr-qc/9411005 (em inglês)

Ligações externas

• O dia em que o universo quicou - Teóricos exploram o 'outro lado' do big bang - Gravidade Quântica dos Laços - www.unesp.br
• Quantum Gravity, Physics, and Philosophy: http://www.qgravity.org/ (no longer active, try the Wayback machine) (em inglês)
• Resources for LQG and spin foams: http://jdc.math.uwo.ca/spin-foams/
• Gamma-ray Large Area Space Telescope: http://glast.gsfc.nasa.gov/
• Zeno meets modern science. Article from Acta Physica Polonica B by Z.K. Silagadze.
• Referenced in Bob the Angry Flower: http://www.angryflower.com/dating.gif
• Abhay Ashtekar's home page. It has some excellent popular articles suitable for beginners about Space, Time, GR, and LQG. http://cgpg.gravity.psu.edu/people/Ashtekar/articles.html
• April 2006 Scientific American Special Issue, A Matter of Time, has Lee Smolin LQG Article Atoms of Space and Time http://www.sciam.com/special/toc.cfm?issueid=40&sc=rt_nav_list
• Loop Quantum Gravity. Lee Smolin. Online at http://www.edge.org/3rd_culture/bios/smolin.html
• Loop Quantum Gravity on arxiv.org (em inglês)
• A list of LQG references catered to fresh graduates
• Wired News: Moving Beyond String Theory (em inglês)
• September 2006 The Economist article Looping the loop (em inglês)
• Loop Quantum Gravity Lectures Online por Lee Smolin (em inglês)

Artigos

• Graviton propagator in loop quantum gravity-- We compute some components of the graviton propagator in loop quantum gravity, using the spinfoam formalism, up to some second order terms in the expansion parameter.
• Quantum Gravity and the Standard Model-- Shows that a class of background independent models of quantum spacetime have local excitations that can be mapped to the first generation fermions of the standard model of particle physics.

Veja também

• Gravitação quântica
• Grande Rebote