Em teoria quântica de campos, a fórmula da redução de LSZ é um método para calcular elementos da matriz-S (as amplitudes de espalhamento) das funções de correlação ordenadas no tempo de uma teoria quântica de campos. É um passo da sequência que começa na lagrangeana de alguma teoria quântica de campos, e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Seu nome é uma homenagem a três físicos alemães, Harry Lehmann, Kurt Symanzik e Wolfhart Zimmermann.[1][2][3]
Embora a fórmula da redução de LSZ não sirva para partículas compostas, partículas sem massa, e sólitons topológicos, ela pode ser generalizada para cobrir partículas compostas, pelo uso de campos compostos que frequentemente são não-locais. Além disso, o método (ou suas variantes) tornou-se igualmente frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em física estatística eles podem ser usados para obter uma formulação particularmente geral do teorema da flutuação-dissipação.
Campos Antecessor e Posterior
Elementos da matriz S são pontos de transições entre estados Antecessor e Posterior. Um estado Antecessor descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento no passado, antes de interagir, se movendo livremente com momento definido , e, convencionalmente, um estado Posterior descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento posterior, depois de interação, se movendo livremente com momento definido .[1][2][3]
Os estados Antecessor e Posterior são estados numa Representação de Heisenberg , não devemos descrever as partículas em um determinado momento, mas sim um sistema de partículas em evolução, de modo que o elemento da matriz S descrevem :
é a Amplitude de probabilidade a um ajuste no sistema de partículas que foram preparados com momento definido a interagir e ser medidos mais tarde, como um novo conjunto de partículas com momento .
A maneira mais fácil de construir estados Antecessor e Posterior é buscar operadores de campo apropriados que forneçam os operadores de criação e aniquilação. Esses campos são chamados respectivamente de campo Antecessor e Posterior.
Apenas para fixar idéias, suponha que lidar com um campo de Klein-Gordon, que interage de alguma forma que não nos diz respeito:
podem conter uma auto interação ou interação com outros campos, como uma interação Yukawa . Deste Lagrange, usando equações de Euler-Lagrange, a equação do movimento segue:
Onde, se não contém acoplamentos derivados:
Podemos esperar que o campo Antecessor, se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como , fazendo a suposição de que na interação posterior descrito pelo atual é seja desprezível, como partículas estão longe uma da outra. Esta hipótese é chamada de hipótese adiabático. No entanto auto interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, faz resulte na diferença entre a massa de Lagrange e a massa física do bóson . Este fato deve ser levado em consideração por reescrever a equação de movimento da seguinte forma:
Esta equação pode ser resolvida utilizando formalmente a função retardada de Green's para o operador Klein-Gordon :
o que nos permite dividir a interação do comportamento assintótico. A solução é:
O fator é um fator normalizado que virá mais tarde à mão, o campo é uma solução da equação homogénea associada com a equação do movimento:
e, portanto, é um campo livre que descreve uma onda imperturbável de entrada, enquanto que o último termo da solução dá a perturbação da onda devido à interação.
O campo é de fato o campo Antecessor que buscamos, como ele descrevemos o comportamento assintótico do campo, interagindo como , embora esta declaração se resumirá mais precisa depois. É um campo escalar livre para ondas planas expandirem-se:
onde:
A função inversa para os coeficientes em termos de campo podem ser facilmente obtidas e apresentadas de forma formal:
Onde:
Os coeficientes de Fourier satisfazem a álgebra dos operadores de criação e aniquilação:
e podem ser usados para construir o estado Antecessor de maneira usual:
A relação entre o campo interagindo e o campo Antecessor não é muito simples de usar, e na presença anterior da função Green's nos deixa descrever algo como:
implicitamente a suposição se faz de que todas as interações tornam-se insignificantes quando as partículas estão longe uma da outra. No entanto, o atual contém também interações auto como aquelas que produzem o deslocamento de massa de a . Essas interações não desaparecem como as partículas se afastam, muito cuidado, deve-se estabelecer relações assintóticas entre o campo e interação do campo Antecessor.
A prescrição correta, desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizados e , e uma solução normalizada da equação de Klein–Gordon . Com estas peças é possível afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca:
O segundo elemento é de facto independente do tempo que pode ser mostrado pela derivação e lembrando-se que tanto e satisfazem a equação de Klein–Gordon.
Com as mudanças apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um campo Posterior que constrói um estado Posterior. Em particular, a definição do campo Posterior é:
onde é a função avançada de Green do operador de Klein-Gordon. A relação assintótica fraca entre campo Posterior e interação do campo é:
As relações assintóticas são tudo que necessitamos para obter a Fórmula da redução de LSZ. Por conveniência futura com o inicio com os elementos da matriz:[1][2][3]
que é ligeiramente mais geral do que um elemento da matriz S. de fato, é o valor esperado do produto ordenado-tempo de um número de campos entre um estado Posterior e um estado Antecessor. O estado Posterior pode conter qualquer coisa a partir do vácuo para um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice . O estado Antecessor contém pelo menos uma partícula de impulso , e, possivelmente, muitos outros, cujos momentos são resumidos pelo índice . Se não existem campos no produto ordenado-tempo, então é, obviamente, um elemento da matriz S. A partícula com impulso pode ser 'extraiu-se' a partir do estado Antecessor pelo utilização de um operador de criação:
Com o pressuposto de que nenhuma partícula com momento está presente no estado Posterior, ou seja, estamos ignorando a frente espalhando, podemos escrever:
por causa agindo sobre a esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos dos campos Antecessor e Posterior, temos:
Agora podemos usar a condição assintótica a escrever:
Então, notamos que o campo pode ser trazido para o produto solicitado em tempo, uma vez que aparece no lado direito quando e sobre a esquerda quando :
No seguinte, dependência no produto solicitado em tempo é o que importa, por isso, definir:
É fácil mostrar, através da realização explicitamente a integração vez que:
de modo que, por derivação de tempo explícito, temos:
Por sua definição, vemos que é uma solução da equação de Klein-Gordon, o qual pode ser escrito como:
Substituindo na expressão para e integrando por partes, chegamos a:
Isto é:
A partir deste resultado, e seguindo o mesmo caminho a outra partícula extrair a partir do estado Antecessor, que conduz à inserção de um outro campo no produto ordenado-tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do estado Posterior, e os dois podem ser repetido para conseguir aspirar tanto a direita como a esquerda do produto ordenado do tempo, levando à fórmula geral:
Qual é a fórmula de redução LSZ de Klein-Gordon para escalares. Ele ganha um aspecto muito mais bonito se for escrito usando a transformada de Fourier para função de correlação:
Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:
Deixando de lado fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem da transformada de Fourier. É a fórmula de LSZ, onde é a constante de renormalização do campo.
Ver também
Referências
Bibliografia
- Marcelo Otávio Caminha Gomes, Teoria Quântica dos Campos Vol. 39 , EdUSP ISBN 8-531-40635-8
- Barton, G. Introduction to Dispersion Techniques in Field Theory. New York, W.A. Benjamin, 1965. OCLC 870782 (em inglês)
- Gasiorowicz, S. Elementary Particle Physics , New York : Wiley, 1967. OCLC 636225894 (em inglês)
- Kulish, P.P. e Faddeev, L. D. Asymptotic Conditions and Infrared Divergences in Quantum Electrodynamics, Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers doi:10.1007/BF01066485 ISSN 0040-5779 Livro ISSN 1573-9333 e-Livro (em inglês)
- Roman, P. Introduction to Quantum Field Theory, New York : J. Wiley, ©1969. OCLC 299573264 (em inglês)
- Schweber, S.S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Evanston, Ill. : Row, Peterson, 1961. OCLC 1478153 (em inglês)