Na matemática, um círculo unitário é um círculo de raio unitário — isto é, um raio de 1.[1] Frequentemente, especialmente na trigonometria, o círculo unitário é o círculo de raio 1 centrado na origem (0, 0) no sistema de coordenadas cartesianas no plano euclidiano. Em topologia, é frequentemente denotado como S1 porque é uma n-esfera unitária unidimensional.[2][note 1]
Se (x, y) é um ponto na circunferência do círculo unitário, então |x| e |y| são os comprimentos dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 1. Assim, pelo teorema de Pitágoras, x e y satisfazem a equação x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
Como x2 = (−x)2 para todo x, e como a reflexão de qualquer ponto no círculo unitário sobre o eixo x ou y também está no círculo unitário, a equação acima vale para todos os pontos (x, y) no círculo unitário, não apenas aqueles no primeiro quadrante.
O interior do círculo unitário é chamado de disco unitário aberto, enquanto o interior do círculo unitário combinado com o próprio círculo unitário é chamado de disco unitário fechado.
Pode-se também usar outras noções de "distância" para definir outros "círculos unitários", como o círculo Riemanniano; veja o artigo sobre normas matemáticas para exemplos adicionais.
No plano complexo, números de magnitude unitária são chamados de números unitários complexos. Este é o conjunto de números complexos z tais que | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} . Quando dividido em componentes reais e imaginários z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , esta condição é | z | 2 = z z ¯ = x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1} .
O círculo unitário complexo pode ser parametrizado pela medida do ângulo θ {\displaystyle \theta } do eixo real positivo usando a função exponencial complexa, z = e i θ = cos θ + i sen θ {\displaystyle z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta } . (Veja o artigo Fórmula de Euler.)
Sob a operação de multiplicação complexa, os números unitários complexos formam um grupo chamado grupo circular, geralmente denotado T {\displaystyle \mathbb {T} } . Na mecânica quântica, um número unitário complexo é chamado de fator de fase.
As funções trigonométricas cosseno e seno do ângulo θ podem ser definidas no círculo unitário da seguinte forma: Se (x, y) for um ponto no círculo unitário, e se o raio da origem (0, 0) para (x, y) fizer um ângulo θ a partir do eixo x positivo (onde o giro no sentido anti-horário é positivo), então cos θ = x e sen θ = y {\displaystyle \cos \theta =x\quad {\text{e}}\quad \operatorname {sen} \theta =y} A equação x2 + y2 = 1 fornece a relação cos 2 θ + sen 2 θ = 1 {\displaystyle \cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta =1} O círculo unitário também demonstra que seno e cosseno são funções periódicas, com as identidades cos θ = cos ( 2 π k + θ ) {\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )} sen θ = sen ( 2 π k + θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} \theta =\operatorname {sen}(2\pi k+\theta )} para qualquer inteiro k.
Triângulos construídos no círculo unitário também podem ser usados para ilustrar a periodicidade das funções trigonométricas. Primeiro, construa um raio OP da origem O até um ponto P(x1,y1) no círculo unitário de modo que um ângulo t com 0 < t < π/2 seja formado com o braço positivo do eixo x. Agora considere um ponto Q(x1,0) e segmentos de reta PQ ⊥ OQ. O resultado é um triângulo retângulo △OPQ com ∠QOP = t. Como PQ tem comprimento y1, OQ comprimento x1 e OP tem comprimento 1 como um raio no círculo unitário, sen(t) = y1 e cos(t) = x1. Tendo estabelecido essas equivalências, pegue outro raio OR da origem até um ponto R(−x1,y1) no círculo de modo que o mesmo ângulo t seja formado com o braço negativo do eixo x. Agora considere um ponto S(−x1,0) e segmentos de reta RS ⊥ OS. O resultado é um triângulo retângulo △ORS com ∠SOR = t. Pode-se ver, portanto, que, como ∠ROQ = π − t, R está em (cos(π − t), sen(π − t)) da mesma forma que P está em (cos(t), sen(t)). A conclusão é que, como (−x1, y1) é o mesmo que (cos(π − t), sen(π − t)) e (x1,y1) é o mesmo que (cos(t),sen(t)), é verdade que sen(t) = sen(π − t) e −cos(t) = cos(π − t). Pode ser inferido de forma similar que tan(π − t) = −tan(t), já que tan(t) = y1/x1 e tan(π − t) = y1/−x1. Uma demonstração simples do acima pode ser vista na igualdade sen(π/4) = sen(3π/4) = 1/√2.
Ao trabalhar com triângulos retângulos, seno, cosseno e outras funções trigonométricas só fazem sentido para medidas de ângulo maiores que zero e menores que π/2. Entretanto, quando definidas com o círculo unitário, essas funções produzem valores significativos para qualquer medida de ângulo de valor real – mesmo aquelas maiores que 2π. Na verdade, todas as seis funções trigonométricas padrão – seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante, bem como funções arcaicas como seno verso (verseno) e secante externa (exsecante) – podem ser definidas geometricamente em termos de um círculo unitário, como mostrado à direita.
Usando o círculo unitário, os valores de qualquer função trigonométrica para muitos ângulos diferentes daqueles rotulados podem ser facilmente calculados manualmente usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos.
O conjunto de Julia de sistema dinâmico que não é linear, discreto, com função de evolução: f 0 ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}} é um círculo unitário. É um caso mais simples, por isso é amplamente utilizado no estudo de sistemas dinâmicos.