Em trigonometria , a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo
A
B
C
{\displaystyle ABC}
r
{\displaystyle r}
B
C
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {BC}}}
A
C
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {AC}}\,\!}
A
B
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {AB}}\,\!}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
A
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {A}}}
B
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {B}}}
C
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {C}}}
a
sin
-->
A
^ ^ -->
=
b
sin
-->
B
^ ^ -->
=
c
sin
-->
C
^ ^ -->
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r\,\!}
Teste Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que
A
^ ^ -->
=
D
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {D}}\,\!}
B
C
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {BC}}\,\!}
sin
-->
D
^ ^ -->
=
a
2
r
{\displaystyle \sin {\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}}
⇒ ⇒ -->
a
=
2
r
⋅ ⋅ -->
sin
-->
A
^ ^ -->
{\displaystyle \Rightarrow a=2r\cdot \sin {\widehat {A}}}
⇒ ⇒ -->
a
sin
-->
A
^ ^ -->
=
2
r
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}=2r}
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos
B
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {B}}\,\!}
C
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {C}}\,\!}
b
sin
-->
B
^ ^ -->
{\displaystyle {\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}}
c
sin
-->
C
^ ^ -->
=
2
r
{\displaystyle {\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r}
B
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {B}}\,\!}
C
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {C}}\,\!}
Logo, podemos concluir que:
a
sin
-->
A
^ ^ -->
=
b
sin
-->
B
^ ^ -->
=
c
sin
-->
C
^ ^ -->
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r\,\!}
geometria analítica com vetores :
Definimos um triângulo formado pela soma
b
→ → -->
+
c
→ → -->
{\displaystyle {\vec {b}}+{\vec {c}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\vec {a}}}
C
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {C}}}
B
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {B}}}
A
^ ^ -->
{\displaystyle {\widehat {A}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\vec {a}}}
b
→ → -->
{\displaystyle {\vec {b}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\vec {a}}}
c
→ → -->
{\displaystyle {\vec {c}}}
b
→ → -->
{\displaystyle {\vec {b}}}
c
→ → -->
{\displaystyle {\vec {c}}}
S
{\displaystyle S}
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→ → -->
{\displaystyle {\vec {v}}}
‖ ‖ -->
u
→ → -->
× × -->
v
→ → -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
u
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
v
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
(
θ θ -->
)
{\displaystyle \|{\vec {u}}\times {\vec {v}}\|=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot \sin(\theta )}
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
u
→ → -->
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→ → -->
{\displaystyle {\vec {v}}}
‖ ‖ -->
a
→ → -->
× × -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
a
→ → -->
× × -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
b
→ → -->
× × -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
=
2
S
{\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|=\|{\vec {a}}\times {\vec {c}}\|=\|{\vec {b}}\times {\vec {c}}\|=2S}
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
C
^ ^ -->
=
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
B
^ ^ -->
=
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
A
^ ^ -->
=
2
S
{\displaystyle \|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin {\widehat {C}}=\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {B}}=\|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {A}}=2S}
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
C
^ ^ -->
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
B
^ ^ -->
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
=
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
sin
-->
A
^ ^ -->
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
=
2
S
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
⋅ ⋅ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
{\displaystyle {\frac {\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin {\widehat {C}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {B}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {\|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {A}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {2S}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}}
sin
-->
C
^ ^ -->
‖ ‖ -->
c
→ → -->
‖ ‖ -->
=
sin
-->
B
^ ^ -->
‖ ‖ -->
b
→ → -->
‖ ‖ -->
=
sin
-->
A
^ ^ -->
‖ ‖ -->
a
→ → -->
‖ ‖ -->
=
1
2
r
{\displaystyle {\frac {\sin {\widehat {C}}}{\|{\vec {c}}\|}}={\frac {\sin {\widehat {B}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\sin {\widehat {A}}}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {1}{2r}}}
Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:
a
sin
-->
A
^ ^ -->
=
b
sin
-->
B
^ ^ -->
=
c
sin
-->
C
^ ^ -->
=
2
r
{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r}
Lei dos senos para um triângulo esférico Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:
sen
-->
a
sen
-->
A
=
sen
-->
b
sen
-->
B
=
sen
-->
c
sen
-->
C
{\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} a}{\operatorname {sen} A}}={\frac {\operatorname {sen} b}{\operatorname {sen} B}}={\frac {\operatorname {sen} c}{\operatorname {sen} C}}\,}
A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite,
x
s
i
n
x
→ → -->
1
{\displaystyle {\frac {x}{sinx}}\to 1\,}
