Zbiór miary zero Christensena

Zbiór miary zero Christensena – uogólnienia pojęcia zbioru miary zero w sensie miary Haara na lokalnie zwartej grupie topologicznej na podzbiory grup polskich. Pojęcie to zostało wprowadzone w 1972 roku przez J. Christensena^[1] oraz niezależnie przez B.R. Hunta, T. Sauera i J.A. Yorke’a^[2].

Definicja

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą polską. Podzbiór ${\displaystyle A\subseteq G}$ nazywany jest zbiorem miary zero Christensena, gdy istnieje taki zbiór borelowski ${\displaystyle B\supseteq A}$ oraz taka borelowska miara probabilistyczna ${\displaystyle \mu }$ na ${\displaystyle G,}$ że ${\displaystyle \mu (gBh)=0}$ dla wszelkich elementów ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h\in G.}$

Uwagi

• D. Fremlin pytał czy można pominąć w definicji dobór zbioru ${\displaystyle B,}$ tj. żądać by tylko ${\displaystyle \mu (gAh)=0}$ dla wszelkich elementów ${\displaystyle g,h\in G,}$ by dostać tę samą klasę zbiorów. Elekes i Sterpāns wykazali, że odpowiedź na powyższe pytanie jest negatywna^[3]
• Christensen udowodnił, że jeżeli ${\displaystyle G}$ jest metryzowalną grupą lokalnie zwartą, to podzbiór ${\displaystyle A\subseteq G}$ jest zbiorem miary zero Christensena wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mu (A)=0,}$ gdzie ${\displaystyle \mu }$ oznacza miarę Haara na ${\displaystyle G.}$
• Rodzina wszystkich podzbiorów miary zero Christensena danej grupy polskiej ${\displaystyle G}$ tworzy σ-ideał podzbiorów zbioru ${\displaystyle X,}$ tj. podzbiór zbioru miary zero Christensena oraz suma przeliczalnie wielu zbiorów miary zero Christensena również mają tę własność. Solecki udowodnił, że ów σ-ideał ma własność ccc, tj. każda rodzina parami rozłącznych zbiorów spoza ideału jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy dana grupa polska jest lokalnie zwarta^[4].

Przykłady

• Hunt udowodnił, że podzbiór przestrzeni Banacha ${\displaystyle C[0,1]}$ złożonej z wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych określonych na przedziale [0,1] z normą supremum (rozważanej jako przemienna grupa polska) złożony z tych funkcji, które mają pochodną w przynajmniej jednym punkcie jest zbiorem miary zero Christensena^[5]. (Banach wykazał, że zbiór ten jest również pierwszej kategorii).

Przypisy

1. J.P.R. Christensen, On sets of Haar measure zero in abelian Polish groups. Proceedings of the International Symposium on Partial Differential Equations and the Geometry of Normed Linear Spaces (Jerusalem, 1972). „Israel J. Math.” 13 (1972), s. 255–260 (1973).
2. B.R. Hunt, T. Sauer and J.A. Yorke, James, Prevalence: a translation invariant „almost every” on infinite-dimensional spaces. „Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.)” 27 (1992), no. 2, s. 217–238.
3. M. Elekes, J. Steprāns, Haar null sets and the consistent reflection of nonmeagreness, „Canad. J. Math.” 66 (2014), s. 303–322.
4. S. Solecki, On Haar null sets, „Fund. Math.” 149 (1996), s. 205–210.
5. B.R. Hunt, The prevalence of continuous nowhere differentiable functions, „Proc. Amer. Math. Soc.” 122 (1994), no. 3, s. 711–717.