Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej
„nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary
tzn. dowolny zbiór
spełniający
Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.
O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.
W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue’a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue’a).
Miara Lebesgue’a
Podzbiory miary Lebesgue’a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór
prostej
nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue’a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego
istnieje taki ciąg przedziałów
który spełnia
![{\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27303985ebb5c8a86aaf37f082c98f4ba442f474)
oraz
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|I_{n}|<\varepsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82e5dc23b756badbf2181eac6cf583aa2d55403)
gdzie
oznacza przedział otwarty dla
o długości
Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie
wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci
w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem
Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w
są miary zero (
-wymiarowej Lebesgue’a).
Przykłady
Niech dana będzie funkcja mierzalna
(w sensie Lebesgue’a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue’a). Jeżeli
jest mierzalna (w sensie Lebesgue’a), to funkcje
oraz
są równe prawie wszędzie, tj.
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
![{\displaystyle {\big \{}x\in \mathbb {R} \colon f(x)\neq g(x){\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fddef1eda57390ef555fcb11398f0c18aaf19eae)
jest miary (Lebesgue’a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg
funkcji mierzalnych
to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do
tzn.
wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
![{\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }~f_{n}(x)\neq f(x)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856e96a5e9679345b84b8800d6209af68c29298b)
ma miarę (Lebesgue’a) zero; dla funkcji
o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór
![{\displaystyle {\big \{}x\in A\colon g(x)\notin \mathbb {R} {\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a567cc0576310ecaebdddd0eae89db752690decd)
jest zaniedbywalny, to o funkcji
mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem):
oraz
oznaczającym odpowiednio równość
oraz
zbieżność
do
oraz skończoność
na zbiorach miary (Lebesgue’a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue’a
można zastąpić dowolną miarą
określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.
Niech
będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do
zawiera się w zbiorze typu Gδ należącym do
Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów
które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.
Zbiór liczb rzeczywistych
można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów
oraz
z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli
oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś
jest przedziałem otwartym o środku w
i długości
to jako zbiór miary zero można przyjąć
![{\displaystyle N=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }~I_{n,m};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3724264182e4bd48583dbf7668a1c586634de3)
jego dopełnienie
jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór
wszystkich liczb Liouville’a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.
Niech
konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli
jest podzbiorem miary zero w
to
![{\displaystyle \lambda _{m}\left(E^{y}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0004a6d127dc357eebaa9f54bdd83746a8f2de6c)
dla prawie wszystkich
i podobnie
![{\displaystyle \lambda _{n}\left(E_{x}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0383b9b95068f719f1546aeeed5a9bfcd9939fbc)
dla prawie wszystkich
gdzie
oznacza
-wymiarową miarę Lebesgue’a, a
oraz
Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli
oraz
są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym
jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej
to dla dowolnego zbioru mierzalnego
na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:
- zbiór
jest miary
zero;
- zbiór
jest miary
zero;
- zbiór
jest miary
zero;
gdzie
oraz
Zobacz też
Bibliografia
- Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144–145.
- John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2–5.
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X. Brak numerów stron w książce