Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.
Niech
będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór
jest pierwszej kategorii Baire’a w
(lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę
gdzie każdy ze zbiorów
jest nigdziegęsty w
(tzn.
). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w
będziemy oznaczać przez
(albo po prostu przez
jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).
Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub II kategorii).
Własności
- Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni
tworzą σ-ideał podzbiorów
Każdy zbiór z
jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ, który też jest pierwszej kategorii.
- Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
- Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli
są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski
który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn.
wtedy i tylko wtedy, gdy
).
- Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej
które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.
Przykłady i zastosowanie
- Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej
jest I kategorii w
W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór
).
- Prostą rzeczywistą
można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów,
takich że
jest zbiorem pierwszej kategorii, a
jest zbiorem miary zero Lebesgue’a.
- Aby podać przykład takich zbiorów
ustalmy numerację
zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych
niech
będzie odcinkiem otwartym o środku w
i długości
Wówczas zbiór
jest miary zero, ale jego dopełnienie
jest pierwszej kategorii.
- Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
- Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech
będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka
w zbiór liczb rzeczywistych
Wyposażmy
w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę
![{\displaystyle d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|\colon x\in [0,1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c483efda06845e62257fe9f0e5c125a109f804c5)
- Wówczas
jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka ![{\displaystyle [0,1]\ {\big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd78a0d53c158adc614170a79c55b2705b0be13a)
- Banach udowodnił, że zbiór
jest pierwszej kategorii w
czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.
Gra Banacha-Mazura
Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.
Niech Z będzie dowolnym podzbiorem
Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi
Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty
a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału
Kiedy gracze dochodzą do
tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych
Na
tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty
a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział
Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię
wtedy i tylko wtedy, gdy
Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
jest pierwszej kategorii.
Zobacz też