Tensor energii-pędu (zwany też tensorem napięć-energii) – tensor drugiego rzędu. Jest używany na przykład w ogólnej teorii względności, w której wchodzi w skład równań Einsteina i pełni rolę źródła zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja.
Definicja
W szczególnej i ogólnej teorii względności przyjmuje się następujące indeksowanie składowych tensora napięć-energii:
– indeks czasowy,
– indeksy przestrzenne.
Definicja
Składowa
tensora napięć-energii jest równa składowej
strumienia wektora czteropędu przepływającego przez hiperpowierzchnię o stałej współrzędnej
w czasoprzestrzeni.
Własność symetrii
Tensor napięć-energii w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma wymiary 4×4. Tensor napięć-energii jest w teorii względności symetryczny, tj.[1]
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e697e8f2ace945b07a8dc5db5ad9676e2219205c)
W teoriach alternatywnych, jak np. teoria Einsteina-Cartana tensor napięć-energii może nie być dokładnie symetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje np. zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane.
Przykład
Jeżeli mamy strumień cząstek w przestrzeni, to aby obliczyć składową
w danym punkcie oblicza się sumę składowych
czterowektora pędu cząstek, które przechodzą przez mały element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi
i dzieli przez wielkość tej hiperpowierzchni.
Sens fizyczny składowych tensora napięć-energii
(1) Składowa
tensora napięć-energii jest równa gęstości energii w pobliżu danego punktu.
(2) Składowe
oraz
gdzie
to gęstość pędu (pomnożona przez
) w pobliżu danego punktu (łączna wartość pędu w danym obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru).
(3) Składowe
gdzie
tworzą tensor napięć (pojęcie analogiczne do tensora napięć znanego w technice):
a) składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie,
b) składowe pozadiagonalne to naprężenie ścinające.
Postać macierzowa tensora napięć-energii
Tensor napięć-energii jest tensorem drugiego rzędu, dlatego jego składowe można przedstawić w postaci macierzy 4×4[2]:
![{\displaystyle (T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7d557149b54faec2a14cb2638a8461c82359a3)
lub też, identyfikując odpowiednie składowe z wielkościami fizycznymi
![{\displaystyle (T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}u&p^{x}&p^{y}&p^{z}\\p^{x}&P^{xx}&\sigma ^{xy}&\sigma ^{xz}\\p^{y}&\sigma ^{yx}&P^{yy}&\sigma ^{yz}\\p^{z}&\sigma ^{zx}&\sigma ^{zy}&P^{zz}\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c356048defb9a7b0e9bc3aec8868d7a2e58798b4)
gdzie:
– gęstość energii,
– składowe gęstości pędu (pomnożone przez
),
– ciśnienia,
– naprężenia ścinające.
Przykłady tensora napięć-energii
Cząstka izolowana
Dla cząstki izolowanej (nie oddziałującej z otoczeniem) o masie m, znajdującej się w położeniu
tensor napięć-energii ma postać:
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5984c9f8252188517af4d36e9fae3f92d55ec796)
gdzie:
– składowe wektora prędkości (nie należy mylić z 4-wektorem prędkości, który dodatkowo zawiera czynnik
), tzn. ![{\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc87dac9e0d88e62d4420d1d636d8a3ebe72f2a)
– delta Diraca,
– całkowita energia cząstki.
Wiele cząstek punktowych
Dowolny rozkład materii/energii można otrzymać ze zbioru cząstek punktowych.
Dlatego tensor napięć-energii można wyrazić za pomocą sumy tensorów napięć-energii pojedynczych cząstek. Tensor ten dla pojedynczej cząstki ma postać
![{\displaystyle T_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)=\gamma mv_{\alpha }v_{\beta },\quad \alpha ,\beta =0,1,2,3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4608b92b801439aed63f66a33e46bb3c552249e8)
w położeniu, gdzie cząstka znajduje się aktualnie, zaś zero wszędzie indziej. Tensor ten zmienia się w ogólności w czasie, gdy zmienia się w czasie położenie i prędkość cząstki. Zmienna
jest wektorem prędkości, tj. równym pochodnej położenia cząstki względem czasu (nie czasu własnego)
![{\displaystyle v=(c,dx/dt,dy/dt,dz/dt).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61052f08c01cf644133686ee85bcbcb199d81bf)
Widać stąd, że wszystkie składowe tensora napięć-energii mają jednakowy wymiar
Aby otrzymać tensor napięć-energii w przypadku zbioru wielu cząstek sumuje się tensory dla cząstek punktowych i dzieli przez objętość, jaką zajmuje zbiór cząstek – w ten sposób składowe tensora będą gęstościami pędu i ciśnienia, średnimi dla dyskretnego zbioru cząstek.
Element
jest energią cząstki. Stąd, jeżeli dodamy energie wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowitą energię.
Elementy
oznaczają pędy cząstek w kierunki
mnożone przez prędkość światła
Stąd, jeżeli dodamy te elementy od wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowity pęd w kierunku
mnożony przez prędkość światła
czyli prędkość w kierunku osi czasu.
Podobnie, niediagonalne elementy
dla zbioru cząstek dodane do siebie dają sumę pędów cząstek w kierunku
mnożonych przez ich prędkości w kierunku
Elementy diagonalne
wyglądają jak energie kinetyczne. W zbiorze cząstek chaotycznie poruszających się, jak np. w gazie, energia kinetyczna związana jest z ciśnieniem, dlatego elementy diagonalne odpowiadają za ciśnienie.
Tensor napięć-energii płynu w równowadze
Dla płynu idealnego w równowadze termodynamicznej tensor napięć-energii ma prostą postać[3]
![{\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1cc52acbec380e43866bcd992e610725440b866)
gdzie:
– gęstość masy-energii [kg/m³],
– ciśnienie hydrostatyczne [Pa],
– czteroprędkość płynu,
– odwrotny tensor metryczny.
Ślad tego tensora wynosi
![{\displaystyle T=3p-\rho c^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acd96feb571dbae4f290ecf90ee7261dcd0c831)
a czteroprędkość spełnia równanie
![{\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4241c792ccb022cac8382b5e59310182f9fd9cf4)
W układzie odniesienia poruszającym się z płynem, zwanym właściwym układem odniesienia, mamy
![{\displaystyle (u^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64f0188a00b77c81436c5440faf63134291e16e)
Odwrotny tensor metryczny ma postać
![{\displaystyle (g^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b896ee596f66cc79a146b70d1e8b251c60d33d)
Tensor napięć-energii jest diagonalny
![{\displaystyle (T^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b56b51c7d5e5a309cb530ebb83b58c03d29dd51)
Elektromagnetyczny tensor napięć-energii
Tensor napięć-energii Hilberta dla pozbawionego źródeł pola elektromagnetycznego ma postać:
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb18b654e8fc5ce42396412f4959eb1672f5c393)
gdzie
– tensor pola elektromagnetycznego.
Pole skalarne
Tensor napięć-energii dla pola skalarnego
które jest rozwiązaniem równania Kleina-Gordona ma postać
![{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\overline {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\overline {\phi }}\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ce4491e1dc7ed66b9a70b63399da950958263c)
Gdy metryka jest płaska (metryka Minkowskiego), to otrzyma się:
![{\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\overline {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\overline {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\overline {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\overline {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\overline {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\quad \mathrm {oraz} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\overline {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\overline {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\overline {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\overline {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7744c0c02cbdf70d4ef53d6b6dba89828ee54c5)
Przybliżenie quasi-klasyczne
Uważa się, że najdokładniejszy opis oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią da kwantowa teoria grawitacji, traktująca materię i pole grawitacyjne jako układy kwantowe. Nie istnieje jednak jak dotąd kwantowa teoria grawitacji, choć podejmowane są liczne próby jej sformułowania.
Pierwszym podejściem w tym kierunku jest tzw. przybliżenie quasi-klasyczne, które traktuje pole grawitacyjnie w sposób klasyczny, a materię kwantowo, tzn. modyfikuje się równania Einsteina do postaci
![{\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }=-K\langle T_{\mu \nu }\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d008e75f338972c2d6c8c95ace543c00109d69)
czyli:
- tensor pola grawitacyjnego (tensor Einsteina) pozostaje bez zmian,
- tensora energii-pędu materii zastępuje się przez średni statystyczne tensor energii-pędu
![{\displaystyle T_{\mu \nu }\to \langle T_{\mu \nu }\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7431b7c84f34746dd71420ff2ea95342f9a582)
przy czym średni statystyczna zależy od funkcji falowej określającej stan kwantowy materii.
Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego
![{\displaystyle \langle T_{\mu \nu }\rangle =(\epsilon +P)u_{\mu }u_{\nu }-g_{\mu \nu }P,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6c20812b77a33f9b9c7a82b04e02d61c228b6e)
gdzie
jest wektorem jednostkowym
jest przestrzennym rozkładem energii, a
rozkładem ciśnienia.
Np. w płaskiej przestrzeni Minkowskiego
wektor jednostkowy
i tensor energii-pędu ma postać macierzową
![{\displaystyle T_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\epsilon &0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f53b97e5b231ff88282ca9503f88516dcaacd7)
Aby rozwiązać równania Einsteina musi być podana pełna informacja o układzie fizycznym, dlatego trzeba zadać dodatkowo równanie stanu materii (EOS), określające zależność ciśnienia od gęstości materii
![{\displaystyle P=P(\epsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8671313b47df84f5445957f107bdb863738b02e7)
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Podstawowe koncepcje |
|
---|
Zjawiska |
|
---|
Równania |
|
---|
Formalizm |
|
---|
Rozwiązania |
|
---|
Uczeni |
|
---|
![]()