Tensor metryczny – tensor drugiego rzędu (o dwóch indeksach), symetryczny, charakterystyczny dla danego układu współrzędnych. Jest podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej, znajduje zastosowanie np. w elektrodynamice, w ogólnej teorii względności i innych teoriach, korzystających z geometrii różniczkowej.
Tensor metryczny można zdefiniować na dwa sposoby:
- za pomocą iloczynu skalarnego,
- za pomocą elementu liniowego.
W artykule opisano oba sposoby.
Wektory bazowe
Niech
oznaczają współrzędne (na ogół krzywoliniowe), zdefiniowane na rozmaitości
przy czym
jest wymiarem rozmaitości. Wektory styczne do linii współrzędnych oblicza się ze wzoru
![{\displaystyle e_{i}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial x^{i}}},\quad i=1,2,\dots ,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd3651d1bb8ab02ecee2133c7f9d05caa04b01f)
gdzie
jest wektorem wodzącym punktu na rozmaitości. Wektory te definiują lokalną bazę, określoną dla przestrzeni stycznej
w punkcie
rozmaitości
(Odtąd będziemy skrótowo mówić „punkt
” zamiast „punkt o wektorze wodzącym
”. Zauważmy jednak, że wektor wodzący zależy od przyjętego początku układu współrzędnych, punkt zaś jest niezależnym od tego wyboru elementem rozmaitości.) Dla każdego punktu rozmaitości da się określić lokalną, unikalną bazę.
Tensor metryczny
Niech dana będzie n-wymiarowa rozmaitość różniczkowa
ze zdefiniowanym w niej iloczynem skalarnym. Iloczyn skalarny jest symetrycznym, dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym[1]
gdzie
lub
(ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych).
Tensor metryczny rozmaitości definiuje się poprzez iloczyny skalarne wektorów bazy układu współrzędnych (w ogólności współrzędnych krzywoliniowych), tj.:
![{\displaystyle g_{ij}=e_{i}e_{j},\quad i,j=1,2,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3273341b738e0ffefe32f3fc59e820d870c73628)
Tensor ten ma więc
elementów. Jest to postać kowariantna (o dolnych indeksach) tensora.
Postać kontrawariantną (o górnych indeksach) otrzymuje się jako macierz odwrotną z macierzy
czyli:
![{\displaystyle (g^{ij})=(g_{ij})^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa239fc192a48171475316d15639be531c826426)
Współrzędne
tensora metrycznego są więc równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych
lokalnego układu współrzędnych[2].
Obniżanie/podnoszenie wskaźników
Aby obniżyć wskaźniki dowolnego wektora trzeba pomnożyć go przez tensor metryczny
![{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73ad2056f091b7e2fd2dae0a5123687a068e6df)
– przy czym sumuje się po powtarzającym się indeksie
Aby podwyższyć wskaźniki, trzeba wykorzystać tensor
![{\displaystyle A^{i}=g^{ij}A_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3318b8b3e488dd8984bc5578677147bc1d9e4ae6)
Iloczyn skalarny dowolnych wektorów
Iloczyn skalarny dowolnych dwóch wektorów wyraża się przez tensor metryczny i współrzędne wektorów w jeden z trzech równoważnych sposobów:
![{\displaystyle A\cdot B=g_{ij}A^{i}B^{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3113cea37105eede6e8bd5a3548d27dcd92719c)
![{\displaystyle A\cdot B=A^{i}B_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c0262c8a241101c64d94cdb9e1cc40c3ba1e6d)
![{\displaystyle A\cdot B=A_{i}B^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8d2874c32a589df0fe582590ed21dc6f514722)
gdzie:
– tensor metryczny,
– współrzędne kontrawariantne (o górnych indeksach) wektorów ![{\displaystyle A,B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6adce00c0dbd0268c0b63529ef77c10d371c5a6)
– współrzędne kowariantne (o dolnych indeksach) wektorów ![{\displaystyle A,B.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbcdfff9116e9110d6aee2c14bce2032f8dbfd98)
Dla przestrzeni euklidesowej mamy:
Wtedy współrzędne kowariantne równe są kontrawariantnym oraz
![{\displaystyle A\cdot B=A^{i}B^{i}=A^{i}B_{i}=A_{i}B^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c3a0a3e2169af91eaab4d3effe4debd8e31050)
Dowód:
– wartość iloczynu skalarnego wektorów bazy ![{\displaystyle e_{i},e_{j},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081c7da18da72c61c26e12415983e6910de84b6c)
– zapis wektorów
w bazie ![{\displaystyle \{e_{i}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2525f4aa84b1fc99ac714be97b80ce520e5b9d9)
Stąd otrzymamy:
![{\displaystyle A\cdot B=\left(\sum _{i=1}^{n}A^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}B^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\ e_{i}e_{j}A^{i}B^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}A^{i}B^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1aa39e804fb6bfbf79b7d2eea63be516742dc69)
Stosując konwencję sumacyjną oraz zasady podwyższania/obniżania wskaźników, otrzymamy:
c.n.d.
Definicja tensora metrycznego przez element liniowy
(1) Niech będą dane dwa układy współrzędnych w n-wymiarowej rozmaitości różniczkowej:
- kartezjański
![{\displaystyle \{x^{i}\}_{i=1}^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacb9be454562e6b82a4c3656cea0fed98ed9dc0)
- krzywoliniowy
![{\displaystyle \{q^{i}\}_{i=1}^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/596c151b81ff3d1f5f3e8efb0ae98ba07a4dcb8d)
(2) Definiujmy element liniowy jako[3]
![{\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/429e804f5d73f8432d305aad8d97fca19a75a51b)
(3) Można przejść od układu współrzędnych kartezjańskich do układu współrzędnych krzywoliniowych za pomocą transformacji:
![{\displaystyle x^{i}=x^{i}(q^{1},\dots ,q^{n}),\ i=1,2,\dots ,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9331e6d5af556fb1ae1532241f7bc3fb8ed7e766)
gdzie
– funkcje wyrażające współrzędne kartezjańskie przez krzywoliniowe.
(4) Jeżeli każda funkcja
ma ciągłe pochodne względem wszystkich swoich argumentów, to ze wzoru na różniczkę zupełną otrzymamy
![{\displaystyle dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7e2a5d8df1636cf27130d4c431f9a7fbe0995d)
(5) Wstawiając te różniczki do wzoru na element liniowy otrzymamy
![{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}(dx^{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}dq^{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{k}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9845a6c833e8d60bf383c53377dc29adaee5d599)
(6) Tensorem metrycznym nazywa się występujące w powyższym wzorze wielkości[4]
![{\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd343af911e387814591ff606dff2c9eb47f7b9)
(7) Wzór na element liniowy we współrzędnych krzywoliniowych przyjmie postać (przy czym zmieniono nazwy indeksów sumacyjnych)
![{\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66783b6910fcbd01720b470063bd61ad3bd73e31)
(8) Stosując konwencję sumacyjną Einsteina, otrzymuje się uproszczony zapis
![{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bd3496f1266f409818055c39d2423aa76e17f6)
(9) Uwaga:
Powyżej wyprowadzony wzór na tensor metryczny
![{\displaystyle g_{jk}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd343af911e387814591ff606dff2c9eb47f7b9)
jest równoważny definicji tensora metrycznego za pomocą iloczynów skalarnych wektorów bazy
![{\displaystyle g_{jk}=e_{j}e_{k},\quad j,k=1,2,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb7868551e324f491324490329ed91bd7772d950)
Dowód:
Korzystając z definicji wektorów
i rozkładając je w bazie kartezjańskiej mamy
![{\displaystyle e_{j}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e30666595bfe51245bc35229b0e7f6a7b3586b)
![{\displaystyle e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{l}^{n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f26abec4961877ffb894f03b03471bfe297682)
gdzie
– wersory układu kartezjańskiego, takie że
Mnożąc powyższe wyrażenia przez siebie otrzyma się
![{\displaystyle e_{j}e_{k}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial q^{k}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\hat {x}}_{i}\sum _{l=1}^{n}{\frac {\partial x_{l}}{\partial q^{k}}}{\hat {x}}_{l}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{j}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial q^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce83c31e7598ff76b5992a6e9e5d7d0cba3c8f2)
przy czym w ostatnim wzorze wykorzystano ortogonalność bazy kartezjańskiej, cnd.
Iloczyn skalarny wektora ![{\displaystyle dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845c817e348381a13f3fad5184169ce0e021c685)
Tensor metryczny pozwala obliczyć iloczyn skalarny dowolnych wektorów. W szczególności obliczymy iloczyn skalarny wektora nieskończenie małego przesunięcia. Niech:
– wektor bazy układu współrzędnych w kierunku współrzędnej
[1],
– wektor nieskończenie małego przesunięcia w przestrzeni zapisany w tej bazie.
Ponieważ
to kwadrat długości wektora
wynosi:
![{\displaystyle ds^{2}\equiv d\mathbf {x} ^{2}=d\mathbf {x} \ d\mathbf {x} =,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa43bf7d67cdd9e36769b66f8dadab446fbab2a)
![{\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}dx^{i}e_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}dx^{j}e_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}e_{i}e_{j}\ dx^{i}dx^{j}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc38518ec0fe091a7a419d8516bc15d6312230e)
Korzystając z konwencji sumacyjnej Einsteina mamy ostatecznie:
![{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb188686fb7def3b5a03e79a459fd0861e4a0ecc)
Własności tensora metrycznego
Symetryczność
(1) Tensor metryczny definiuje się tak, że jest on zawsze symetryczny, tj.
![{\displaystyle g_{ij}=g_{ji}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b19c9463d191628e339fa7b8803393536824f5)
Jest to możliwe, gdyż w wyrażeniu
dla każdej pary wskaźników
mamy sumę dwóch wyrazów:
= ![{\displaystyle (g_{ji}+g_{ji})dx^{i}dx^{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a46c41720d49d2fb35a61dd5be7b6f832359a2)
Gdyby
to można dokonać symetryzacji przyjmując nowe wartości
(2) Ponieważ tensor o górnych wskaźnikach otrzymuje się dokonując obliczenia macierzy odwrotnej do macierzy
to implikuje to natychmiast, że tensor
jest symetryczny, tj.
![{\displaystyle g^{ij}=g^{ji}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b20dd0279f9fbce56d867398dd60c19e3e62c4b2)
Symetria góra-dół
Z tensora
można otrzymać tensory
oraz
odpowiednio przez podwyższenie pierwszego lub drugiego wskaźnika:
![{\displaystyle g_{\ j}^{i}=g^{ik}g_{kj},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86365563baddfff5be9ccd4eb630c66af0f31289)
![{\displaystyle g_{j}^{\ i}=g^{ki}g_{jk}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2afe6cddc15bf68292cd528ce406254119a97b4d)
Ponieważ tensory
oraz
są symetryczne, to
i z powyższych dwóch wzorów otrzymamy:
![{\displaystyle g_{\ j}^{i}=g_{j}^{\ i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f603db88676e13d6aab85f31121c6b75dad5c2)
co oznacza, że istnieje symetria związaną z zamianą wskaźników góra-dół na dół-góra tensora metrycznego.
„Diagonalność” i współczynniki Lamego
Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:
(nie ma sumowania).
Przykłady tensorów metrycznych
Układ kartezjański 3D
Element liniowy 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach, translacjach, odbiciach układu współrzędnych, tj. odległości punktów
i
obliczone w danym układzie i po dokonaniu transformacji
![{\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd34f8cb982e92ba91f2e8eb370ccc09fa21c82)
oraz
![{\displaystyle ds^{'2}=dx^{'2}+dy^{'2}+dz^{'2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d4cff86aa0a3b377ae5f9ea5ac6b82cd7ec9ddf)
będą identyczne. Z tego względu
stanowi niezmiennik geometrii. Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:
![{\displaystyle g_{ij}=g^{ji}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c47c329f646ee6f372b3d31a5348bcd7cfecb0)
Można pokazać, że dowolna transformacja z wyżej wymienionych, np. obrót układu współrzędnych, nie zmienia tensora metrycznego.
Układ kartezjański n-wymiarowy
Element liniowy n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa nie zmienia się przy obrotach i translacjach układu współrzędnych, tj.
![{\displaystyle ds^{2}=(dx^{1})^{2}+\ldots +(dx^{n})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3248102cf890be65a7eb24ebd5e233ae8c233a73)
Stąd tensor metryczny ma postać diagonalną:
![{\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}=g^{ij},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0956e0cb5405a9f1891660758085c3f40ee8bb69)
gdzie:
– delta Kroneckera.
Z postaci tego tensora wynika też, że w n-wymiarowym układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same.
Czasoprzestrzeń płaska (4D)
W czterowymiarowej czasoprzestrzeni (opisywanej przez szczególną teorię względności) interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Niezmienniczość ta jest konsekwencją postulatu Einsteina o identyczności prędkości światła we wszystkich układach nieinercjalnych i stanowi punkt wyjścia teorii względności: mierząc odległości czasowe i przestrzenne impulsu światła, rozchodzącego się między danymi dwoma obiektami w danym układzie i układzie poruszającym się otrzymamy identyczne wartości, tj. jeśli w dwóch poruszających się względem siebie układach obliczy się interwały
![{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae57e933de81962db705f16db97bc392104710a)
![{\displaystyle ds^{'2}=c^{2}dt^{'2}-dx^{'2}-dy^{'2}-dz^{'2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f621b3b48dacd0639b21ccc0e3d71d370c51d9)
to wyniki te będą identyczne, tj.
![{\displaystyle ds^{2}=ds^{'2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bcd3cec74c3f79453e0c1218a823c367f43288)
mimo że wielkości
oraz
w ogólności będą się różnić. Fakt, iż powyższa wielkość jest niezmiennikiem implikuje, że geometria rzeczywistego świata fizycznego jest geometrią nieeuklidesową: czas i przestrzeń wiążą się ze sobą nierozerwalnie w czasoprzestrzeń, wielkość
stanowi element liniowy geometrii czasoprzestrzeni, niezmienniczy względem transformacji Lorentza.
Wektor położenia punktu w czasoprzestrzeni – to 4-wektor, mający współrzędną czasową i trzy współrzędne przestrzenne. W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać 4-wektory i tensory za pomocą indeksów greckich, np.
Stosując tę konwencję przyjmuje się następujące indeksowanie współrzędnych:
Wtedy niezmiennik przyjmie postać:
![{\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d52572ddd78e63425e5d4eb496777722419305)
Z postaci niezmiennika
natychmiast wynika postać tensora metrycznego:
![{\displaystyle g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88b7d8a049731a5a2b580120b5ebcf3e0a71fff)
Tensor ten implikuje, że 4-wymiarowa czasoprzestrzeń (przestrzeń Minkowskiego) jest przestrzenią płaską (niezakrzywioną). Nie jest to jednak przestrzeń euklidesową, ze względu na przeciwne znaki przy trzech współrzędnych (przestrzennych) w relacji do współrzędnej czasowej. Przestrzeń taką nazywa przestrzenią pseudoeuklidesową.
Czasoprzestrzeń zakrzywiona (4D)
W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych
tensor ten ma postać:
![{\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3b3522a646fe67c838a56ec5b31a8102f59735)
Współrzędne sferyczne (3D)
Współrzędne sferyczne
są związane ze współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:
![{\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \phi \sin \theta ,\\y=r\sin \phi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8f68eb421969f7ebf26c38c85aa5084eda7c22)
Aby obliczyć tensor metryczny kowariantny w układzie współrzędnych sferycznych można
1) albo obliczyć najpierw bazę wektorów stycznych
do krzywych współrzędnych, a następnie obliczyć ich iloczyny skalarne
2) albo wykorzystać bezpośrednio wzór
przyjmując
![{\displaystyle x_{1}=x,\,\,x_{2}=y,\,\,x_{3}=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ccb72c34942a3f4aeb13a0e20ae361e71dc85e)
- oraz
![{\displaystyle q_{1}=r,\,\,q_{2}=\phi ,\,\,q_{3}=\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363276141c8010df65c922393e399431579b943d)
Z obliczeń otrzyma się:
![{\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be1a3f9442a26ca2717dd93e2fddb20a9306f56b)
Tensor metryczny kontrawariantny otrzyma się obliczając macierz odwrotną do macierzy
(co jest trywialne, gdyż
jest macierzą diagonalną – wystarczy odwrócić wyrazy na diagonali):
![{\displaystyle g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233a6918357fdbeffed1db7a8b96130491485713)
Element liniowy w tych współrzędnych ma postać
![{\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\phi ^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )d\theta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc20b22275500dd274e6a90a5ff1ddf281e8317)
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia