Rozkład hipergeometryczny

Rozkład hipergeometryczny

Parametry	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in 0,1,2,\dots \\m&\in 0,1,2,\dots ,N\\n&\in 0,1,2,\dots ,N\end{aligned}}}$
Nośnik	${\displaystyle k\,\in \,\max {(0,\,n+m-N)},\,\dots ,\,\min {(m,\,n)}}$
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {{m \choose k}{N-m \choose n-k}}{N \choose n}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle {\frac {nm}{N}}}$
Moda	${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(m+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
Wariancja	${\displaystyle n(m/N)(1-m/N)(N-n)/(N-1)}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {(N-2m)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nm(N-m)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
Kurtoza	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{m(N-m)}}\right.}$ ${\displaystyle +\left.{\frac {3n(N-n)(N+6)}{N^{2}}}-6\right]}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\ _{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{t})}{N \choose n}}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle {\frac {{N-m \choose n}\ _{2}F_{1}(-n,-m;N-m-n+1;e^{it})}{N \choose n}}}$

Rozkład hipergeometryczny – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa związany z tzw. schematem urnowym.

Zmienna losowa o tym rozkładzie określa prawdopodobieństwo uzyskania ${\displaystyle k}$ sukcesów (${\displaystyle k}$-krotnego wylosowania obiektu mającego określoną cechę) w ${\displaystyle n}$-elementowej próbie, czyli ${\displaystyle n}$ pojedynczych próbkowaniach bez zwracania z populacji o skończonej wielkości ${\displaystyle N}$, w której znajduje się dokładnie ${\displaystyle m}$ obiektów mających tę cechę. W każdym pojedynczym próbkowaniu może nastąpić albo sukces, albo porażka^[1].

Niekiedy spotyka się inny sposób sformułowania, np. zamiast ${\displaystyle N}$ (wielkości całej populacji) parametrem jest ${\displaystyle N-m}$ (liczba obiektów niemających określonej cechy w populacji)^[2].

Funkcja masy prawdopodobieństwa

Zmienna losowa ${\displaystyle X}$ ma rozkład hipergeometryczny, gdy funkcja masy prawdopodobieństwa (pmf) jest dana wzorem^[3]

${\displaystyle p_{X}(k)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {{\binom {m}{k}}{\binom {N-m}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},}$

gdzie

• ${\displaystyle N}$ to wielkość populacji,
• ${\displaystyle m}$ to liczba sukcesów (obiektów, które mają określoną cechę) w tej populacji,
• ${\displaystyle n}$ to liczba pojedynczych losowań (wielkość pobieranej próbki),
• ${\displaystyle k}$ to liczba sukcesów zaobserwowanych w próbce,
• ${\textstyle \textstyle {a \choose b}}$ to symbol Newtona.

Wzór ten stosuje się dla k, takich że${\displaystyle \max(0,n+m-N)\leq k\leq \min(m,n)}$. Poza tym przedziałem prawdopodobieństwa ${\displaystyle p_{X}(k)}$ wynoszą zero.

Przykład

W grze Lotto uczestnik kupuje zakład, w ramach którego typuje, które z 49 liczb zostaną wylosowane w losowaniu odbywającym się w określonym terminie. W pojedynczym losowaniu losuje się 6 liczb. W pojedynczym zakładzie uczestnik typuje również 6 liczb. Zmienna ${\displaystyle X}$ określająca, ile z wytypowanych w tym zakładzie liczb zostanie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami ${\displaystyle N=49}$, ${\displaystyle m=6}$, ${\displaystyle n=6}$. Prawdopodobieństwo prawidłowego wytypowania wszystkich sześciu liczb (trafienia szóstki) wynosi więc:

${\displaystyle p_{X}(6)=\mathbb {P} (X=6)={\frac {{\binom {6}{6}}{\binom {49-6}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {1}{13983816}}\approx 0{,}0000000715,}$

zaś prawdopodobieństwo uzyskania trójki (prawidłowego wytypowania dokładnie trzech liczb) wynosi:

${\displaystyle p_{X}(3)=\mathbb {P} (X=3)={\frac {{\binom {6}{3}}{\binom {49-3}{6-3}}}{\binom {49}{6}}}={\frac {246820}{13983816}}\approx 0{,}0177.}$

Jeżeli uczestnik gra systemem i typuje 8 liczb (co jest równoważne z zakupem odpowiedniej liczby powiązanych zakładów), zmienna ${\displaystyle Y}$ określająca, ile z wytypowanych liczb będzie wylosowanych, ma rozkład hipergeometryczny z parametrami ${\displaystyle N=49}$, ${\displaystyle m=8}$, ${\displaystyle n=6}$. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo uzyskania szóstki wynosi:

${\displaystyle p_{Y}(k)=\mathbb {P} (Y=k)={\frac {{\binom {8}{6}}{\binom {49-8}{6-6}}}{\binom {49}{6}}}\approx 0{,}0000020023}$

Zobacz też

• rozkład geometryczny

Przypisy

1. JacekJ. Jakubowski JacekJ., RafałR. Sztencel RafałR., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, Wyd. 2 popr., rozsz., (dodr.), Warszawa: "Script", 2001, s. 16, ISBN 978-83-904564-5-4 .
2. R: The Hypergeometric distribution [online], search.r-project.org [dostęp 2024-06-19] .
3. John A. Rice: Mathematical Statistics and Data Analysis. Wyd. Third. Duxbury Press, 2007, s. 42.

Encyklopedie internetowe (univariate probability distribution):

• Britannica: topic/hypergeometric-distribution
• SNL: hypergeometrisk_fordeling