Rozkład Studenta

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry

stopni swobody (liczba rzeczywista)

Nośnik

Gęstość prawdopodobieństwa

Dystrybuanta


gdzie jest funkcją hipergeometryczną

Wartość oczekiwana (średnia)

w przeciwnym wypadku nieokreślona

Mediana

Moda

Wariancja

w przeciwnym wypadku nieokreślona

Współczynnik skośności

Kurtoza

Entropia

Funkcja tworząca momenty

(nieokreślona)

Odkrywca

William Sealy Gosset (1908)

Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład tciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponuje się tylko wynikami n pomiarów, dla których można wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znane jest natomiast odchylenie standardowe w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student), podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od

Definicja

Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:

gdzie:

  • jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny
  • jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o stopniach swobody
  • i niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

gdzie to funkcja gamma.

Dowód. Niech i będą takie jak wyżej. Zmienna ma rozkład chi o stopniach swobody, a więc gęstość wyraża się wzorem

Rozważmy zmienną

Wówczas

a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że

Zmienna ma zatem rozkład Jej gęstość jest więc postaci

Niech Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

Gęstość rozkładu gamma wyraża się wzorem

Oznacza to, że

a stąd

Ostatecznie

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego Dla małych różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu w szczególności dla rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego

rozkłady Studenta porównane z rozkładem normalnym
rozkłady Studenta porównane z rozkładem normalnym

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

  1. Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:
    gdzie jest wartością średnią z próby, zaś odchyleniem standardowym z próby.
    Wówczas zmienna ma rozkład Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
  2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna określona wzorem:
    ma rozkład Studenta o stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich (test t Studenta, test t Welcha) i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych – zwłaszcza gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości że lub Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.

Bibliografia

  • Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.

Linki zewnętrzne