Nr
|
Krótki opis
|
Aktualny status
|
1
|
Hipoteza continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych)
|
Udowodniono, że hipoteza ta jest niezależna od aksjomatyki Zermela-Fraenkla teorii mnogości. W oparciu o te aksjomaty nie można jej ani udowodnić, ani obalić.
|
2
|
Udowodnić niesprzeczność aksjomatów arytmetyki (tzn., że arytmetyka jest systemem formalnym, w którym nie jest możliwy dowód dwóch sprzecznych ze sobą twierdzeń)
|
Nie ma zgody co do rozstrzygnięcia, mający pomóc w rozwiązaniu problemu program Hilberta został podważony przez twierdzenie Gödla, jednak jest to wciąż przedmiotem debaty.
|
3
|
Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi?
|
Rozwiązany przez Maxa Dehna, który podał kontrprzykład.
|
4
|
Problem konstrukcji przestrzeni metrycznych, w których proste stanowią najkrótszą drogę pomiędzy punktami
|
Problem uznany za zbyt ogólnikowy, choć został rozstrzygnięty dla pewnych szczególnych przypadków.
|
5
|
Czy wszystkie ciągłe grupy są jednocześnie grupami Liego?
|
Rozwiązany w 1953 r. – dowodu dostarcza twierdzenie Gleasona-Montgomery'ego-Zippina.
|
6
|
Aksjomatyzacja całości fizyki
|
Problem został uznany za niematematyczny, rozwiązany tylko dla niektórych dziedzin.
|
7
|
Czy liczba a b, gdzie liczba algebraiczna a jest różna od 0 i 1, a b jest algebraiczną liczbą niewymierną, jest liczbą przestępną?
|
Rozwiązany – odpowiedzi pozytywnej udziela Twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
|
8
|
Hipoteza Riemanna (część rzeczywista każdego nietrywialnego zera funkcji dzeta jest równa ½) i hipoteza Goldbacha (każda liczba parzysta większa od 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych)
|
Problem otwarty.
|
9
|
Dowód uogólnionego prawa wzajemności dla każdego algebraicznego ciała liczbowego
|
Rozwiązany częściowo. W 1927 r. Emil Artin podał dowód dla rozszerzeń abelowych (twierdzenie Artina o wzajemności). Przypadek ogólny pozostaje otwarty.
|
10
|
Przewidzenie rozwiązywalności każdego równania diofantycznego
|
Rozwiązany – zgodnie z twierdzeniem Matijasiewicza jest to niemożliwe.
|
11
|
Rozwiązywanie form kwadratowych z dowolnymi algebraicznymi współczynnikami liczbowymi
|
Rozwiązany w 1924 r. przez Helmuta Hassego.
|
12
|
Rozszerzenie twierdzenia Kroneckera-Webera o ciałach abelowych na dowolne algebraiczne ciała liczbowe
|
Problem otwarty.
|
13
|
Rozwiązywanie wszystkich równań 7. stopnia przy użyciu funkcji dwóch zmiennych
|
Rozwiązany. Możliwość rozwiązania wszystkich takich równań udowodnił Władimir Arnold razem z Andriejem Kołmogorowem
|
14
|
Dowód skończoności konstrukcji pewnych podpierścieni
|
Rozwiązany. Odpowiedź przecząca z uwagi na kontrprzykład znaleziony w 1959 r. przez Masayoshi Nagatę.
|
15
|
Ścisłe sformułowanie rachunku Schuberta
|
Rozwiązany w 1930 r. przez Van der Waerdena.
|
16
|
Postulat badań nad topologią krzywych i powierzchni algebraicznych
|
Problem otwarty.
|
17
|
Wyrażenie określonych funkcji rzeczywistych jako ilorazu sum kwadratów
|
Rozwiązany. Znaleziono górne ograniczenie dla liczby wymaganych składników.
|
18
|
Czy istnieje nieforemny wielościan pozwalający na wypełnienie przestrzeni? Jakie jest najgęstsze upakowanie sfer?
|
Rozwiązany, ale dowód postulatu Keplera wciąż czeka na powszechną akceptację.
|
19
|
Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne?
|
Rozwiązany. Odpowiedź twierdząca. Dowód podany przez Ennio de Giorgiego oraz niezależnie, z wykorzystaniem innego aparatu, przez Johna Forbesa Nasha.
|
20
|
Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania?
|
Rozwiązany. Obszar intensywnych i szeroko zakrojonych badań w XX w.; wieloletnie wysiłki zwieńczone w 1998 r. skonstruowaniem dowodu dla przypadku nieliniowego.
|
21
|
Dowód istnienia liniowych równań różniczkowych z przypisanymi grupami monodromii
|
Rozwiązany w 1957 r. przez Helmuta Rörla. Odpowiedź twierdząca lub przecząca, w zależności od bardziej szczegółowego sformułowania problemu.
|
22
|
Uniformizacja relacji analitycznych przy pomocy funkcji automorficznych
|
Rozwiązany w 1907 r. przez Henriego Poincarégo.
|
23
|
Dalszy rozwój rachunku wariacyjnego
|
Rozwiązany.
|