Lagranżjan
Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a[1]) – gęstość funkcjonału działania charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.
Mechanika klasyczna
W nierelatywistycznej mechanice klasycznej lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:
![{\displaystyle L(q(t),{\dot {q}}(t),t)=T(q(t),{\dot {q}}(t),t)-U(q(t),{\dot {q}}(t),t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e4b2a4395591d9d4a52b275685149a45bf1075)
gdzie:
– energia kinetyczna,
– uogólniona energia potencjalna.
Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii opisującej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej od czasu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał nazywany działaniem, obliczony w przestrzeni wszystkich możliwych funkcji jest stacjonarny, czyli nie zmienia swojej wartości przy nieskończenie małej zmianie (wariacji) toru (np. jest tak w otoczeniu ekstremali funkcjonału). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:
![{\displaystyle S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250423b96a3c17324abddaeb0b6d8e3dd49022dc)
We wzorze tym oznacza lagranżjan, a oznacza pochodną po czasie.
Teoria pola
W teorii pola lagranżjan jest całką po współrzędnych przestrzennych z gęstości lagranżjanu (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):
![{\displaystyle L=\int d^{3}x\,{\mathcal {L}}(\varphi (x^{\mu }),\partial _{\mu }\varphi (x^{\mu }),x^{\mu }),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c42b0de35e72fc5f28d5fbc724a13ed47e4c90)
gdzie:
– czterowektor położenia punktu w czasoprzestrzeni,
– współrzędna czasowa,
– wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni ![{\displaystyle x^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7497db34920121d3695ad49a72649426cf1be95)
![{\displaystyle \int d^{3}x\equiv \int _{-\infty }^{+\infty }dx^{1}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{2}\int _{-\infty }^{+\infty }dx^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332813a15003d5746f6634c088fc6ff6cddfaa0e)
– kowariantny czterowektor pochodnych cząstkowych pola.
Zobacz też
Przypisy
|
|