Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.
Pięciokąt foremny
Pięciokąt foremny, pentagon[1] – wielokąt foremny o pięciu bokach. Pięciokąty foremne są ścianami takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.
Własności
Pięciokąt foremny o boku długości ma następujące własności:
- promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym ma długość
- gdzie oznacza złotą liczbę
Konstruowalność
Możliwość skonstruowania przy użyciu cyrkla i linijki pięciokąta foremnego wynika z twierdzenia Gaussa-Wantzela (liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy; opierają się głównie na własności, że bok pięciokąta foremnego jest złotą częścią jego przekątnej.
Konstrukcja 1.
Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku[2].
- Narysuj okrąg o środku S.
- Narysuj średnicę AB.
- Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
- Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD.
- Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E.
- Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F.
- Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.
Konstrukcja 2.
Ptolemeusz w swoim dziele Almagest[3][4] opisuje sposób znalezienia długości boku pięciokąta wpisanego w zadany okrąg.
- Narysuj okrąg o środku S.
- Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
- Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy.
- Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C.
- Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.
Konstrukcja 3.
Metodę Ptolemeusza można rozbudować, uzyskując algorytm znalezienia wszystkich pięciu wierzchołków na okręgu.
- Narysuj okrąg o środku S.
- Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B.
- Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
- Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D.
- Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F.
- Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H.
- Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J.
- Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.
Konstrukcja 4.
W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle’a[3].
- Narysuj okrąg o środku O.
- Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P.
- Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP.
- Znajdź środek M promienia OQ.
- Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W.
- Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P4.
- Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P2 i P3.
- Punkty P, P1, P2, P3, P4 są wierzchołkami pięciokąta foremnego.
Zobacz też
Przypisy
Linki zewnętrzne