Geometrie euklidesowe to geometrie wykorzystujące aksjomat Euklidesa. Dwie proste na płaszczyźnie są równoległe, jeżeli nie przecinają się w żadnym punkcie lub mają ich nieskończenie wiele (pokrywają się).
Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej są równoległe, jeśli nie mają punktów wspólnych lub prosta leży na tej płaszczyźnie.
Analogicznie można definiować równoległość dla obiektów mających więcej wymiarów.
Niech l || k. Wówczas i gdy
Odległość punktu od prostej wyraża się wzorem:
Ponieważ to więc
Zatem wzór na odległość dwóch prostych równoległych ma postać:
Jeżeli przedstawimy dane proste w postaci kierunkowej:
to wzór przybierze postać:
Geometrie nieeuklidesowe
Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.
Równoległość jest pojęciem charakterystycznym dla geometrii euklidesowej (ogólniej – afinicznej).
W geometrii rzutowej (i geometrii eliptycznej) każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest więc spełniony aksjomat Playfaira i nie jest możliwe zdefiniowanie pojęcia równoległości.
W geometrii hiperbolicznej także nie jest spełniony aksjomat Playfaira, tutaj przez dowolny punkt można przeprowadzić (co najmniej) dwie proste rozłączne z zadaną prostą. Można zdefiniować pojęcie równoległości dwóch prostych, odmienne jednak od równoległości definiowanej na płaszczyźnie euklidesowej – np. nie jest to relacja przechodnia.