Wortel 3

Een kubus met rode lichaamsdiagonaal ter lengte van √3.

Irrationale getallen: ζ(3) √2 √3 √5 φ e π
√3 uitgedrukt in verschillende getalstelsels
Binair	1,1011 1011 0110 0111 1010…
Decimaal	1,73205 08075 68877 2935…
Zestientallig	1,BB67 AE85 84CA A73B …
Als kettingbreuk	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}$

Wortel 3 is het positieve reële getal dat vermenigvuldigd met zichzelf het getal 3 oplevert. Het heeft een waarde van ongeveer 1,73205 en wordt wel de hoofdwaarde van wortel 3 genoemd, om verwarring te voorkomen met het negatieve getal (ongeveer -1,73205) dat gekwadrateerd ook 3 geeft. Wortel 3 wordt genoteerd als √3. Zoals √2 de lengte is van de diagonaal van een vierkant in het tweedimensionale platte vlak, is √3 de lengte van de lichaamsdiagonaal van een kubus in de ruimte volgens de stelling van Pythagoras.

√3 kan niet geschreven worden als een breuk van gehele getallen en is daarmee een irrationaal getal. Het staat ook bekend als de Constante van Theodorus, genoemd naar Theodorus van Cyrene, die bewees dat √3 irrationaal is. Volgens de definitie van gebroken machten is √3 gelijk aan ${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$.

Decimale weergave

De eerste 60 cijfers van de decimale weergave van √3 zijn:

1,73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580….^[1]

In december 2013 was de waarde van wortel 3 berekend tot ten minste tien miljard cijfers.^[2]

Benaderingen

Breuken

• Wortel 3 kan benaderd worden met de breuk 97/56 (1,732142857…). Ondanks de kleine noemer van maar 56 wijkt deze benadering minder dan 1/10,000 (ongeveer 9,2×10⁻⁵) af van de juiste waarde. De afronding tot 1,732 is nauwkeurig binnen 0,01% van de echte waarde.
• Archimedes klemde 3 in tussen de kwadraten van twee breuken^[3]
  

(265/153)² < 3 < (1351/780)²

en vond met die breuken twee benaderingen die nauwkeurig zijn tot op 2/23409 (vier decimalen) en 1/608400 (zes decimalen), respectievelijk.

Geneste uitdrukking

De volgende geneste uitdrukkingen convergeren naar √3:

${\displaystyle {\sqrt {3}}=2-2\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\left({\tfrac {1}{2}}-\ldots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}=}$

${\displaystyle ={\frac {7}{4}}-4\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\left({\frac {1}{16}}+\dots \right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}\right)^{2}}$

Voor de eerste uitdrukking geldt bijvoorbeeld:

${\displaystyle 2-2\,({\tfrac {1}{2}}-A)^{2}=x}$,

met ${\displaystyle A}$ recursief bepaald door:

${\displaystyle A=({\tfrac {1}{2}}-A)^{2}}$

Dus

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}-A+A^{2}}$,

waaruit volgt

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}=1-2A+A^{2}=(1-A)^{2}}$

en dus

${\displaystyle A=1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}$,

zodat inderdaad

${\displaystyle x=2-{\tfrac {1}{2}}\,({\sqrt {3}}-1)^{2}={\sqrt {3}}}$

√3 is irrationaal

Een bewijs uit het ongerijmde kan op analoge wijze gegeven worden als voor √2.

Stel dat √3 een rationaal getal is en wel:

${\displaystyle {\sqrt {3}}={\frac {a}{b}}}$,

waarin de breuk zodanig vereenvoudigd is dat ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ relatief priem zijn (geen factoren gemeenschappelijk hebben).

Dan volgt dat

${\displaystyle b\,{\sqrt {3}}=a}$

en na links en rechts kwadrateren

${\displaystyle 3b^{2}=a^{2}}$

Daaruit volgt dat ${\displaystyle a^{2}}$ een drievoud is, en dus ook dat ${\displaystyle a}$ zelf een drievoud is, zeg ${\displaystyle a=3k}$.

Daaruit volgt weer:

${\displaystyle 3b^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}}$,

dus

${\displaystyle b^{2}=3k^{2}}$.

Kennelijk is ${\displaystyle b^{2}}$ een drievoud, en daarmee ook ${\displaystyle b}$ zelf. Maar dat is in tegenspraak met het gegeven dat ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle b}$ relatief priem zijn. De veronderstelling dat √3 een rationaal getal is, is dus onjuist en daarmee is bewezen dat √3 een irrationaal getal is.

Zie ook

• Wortel 2

Bronnen, noten en/of referenties

1. A002194 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, de databank van rijen van gehele getallen.
2. Łukasz Komsta, Computations | Łukasz Komsta. Gearchiveerd op 4 november 2016. Geraadpleegd op 24 september 2016.
3. Wilbur R. Knorr (1976). Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation. Archive for History of Exact Sciences 15 (2): 115–140. DOI: 10.1007/bf00348496.