Wortel (wiskunde)

In de wiskunde wordt met de wortel zowel de wortel van een getal als van een vergelijking aangeduid.

Wortel uit een getal

Vierkantswortel

De vierkantswortel, kort wortel, uit een positief getal is het positieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal . Het symbool hiervoor is √. Het berekenen van een wortel heet worteltrekken. Het is een rekenkundige bewerking op een getal.

is te vereenvoudigen tot . Wortel 2, genoteerd als , wortel 3 als en wortel 5 als zijn niet verder te vereenvoudigen. Het is te bewijzen, dat wortel 2 geen rationaal getal is, dus niet als breuk is te schrijven.

Hogere-machtswortels

Er zijn ook wortels van een hogere macht uit een getal gedefinieerd. Een -de-machtswortel uit een getal is een getal zo, dat

Voor de derdemachtswortel uit een getal is bijvoorbeeld .

Als even is spreekt men van een evenmachtswortel, is oneven dan spreekt men van een onevenmachtswortel. Positieve reële getallen hebben twee tegengestelde evenmachtswortels en juist één positieve onevenmachtswortel. Negatieve reële getallen hebben, zolang er nog met reële getallen wordt gerekend, geen evenmachtswortel en juist één onevenmachtswortel, die negatief is. Men kan ook volgende notatie gebruiken voor de positieve -de-machtswortel van een positief getal of voor de onevenmachtswortel van een negatief getal :

Dan is

Voorbeelden

  • De positieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is 5, want 5 > 0 en 52 = 25, dit wordt genoteerd als .
  • De negatieve tweedemachts- of vierkantswortel van 25 is −5, want −5 < 0 en (−5)2 = 25, dit wordt genoteerd als .
  • De positieve vierdemachtswortel van 16 is 2, want 2 > 0 en 24 = 16. Dit wordt genoteerd als .
  • De derdemachtswortel van −8 is −2, want (−2)3 = −8. Dit wordt genoteerd als .

Breuken als exponent

Wortelvormen kunnen, op voorwaarde dat het grondtal positief is, met gebroken exponenten worden genoteerd.

Algemener, met :

en:

Eigenschap

Voor alle -de-machtswortels geldt:

Immers:

Wortel van een vergelijking

Een wortel van een vergelijking, waarin een functie gelijk aan 0 wordt gesteld, is hetzelfde als een nulpunt van die functie. Een wortel van een vergelijking is dus een waarde voor de onbekende, zodat de vergelijking een gelijkheid wordt. Het is dus een oplossing van de vergelijking.

Volgens de hoofdstelling van de algebra heeft een polynoom van de -de graad wortels in de complexe getallen. Zo heeft de vergelijking de wortels +5 en −5. Wel kunnen sommige van die wortels meervoudig zijn. Zo lijkt de vergelijking slechts de wortels +1 en −1 te hebben, maar de vergelijking kan geschreven worden als , waaruit blijkt dat de wortel −1 gezien kan worden als twee wortels met dezelfde waarde.

De wortels van de vergelijking zijn en .

De wortels van een vierkantsvergelijking kunnen met de wortelformule worden bepaald of in duidelijker gevallen met de som-product-methode.

Wortelvrij maken van de noemer van een breuk

Om wortelvormen weg te werken uit de noemer van een breuk, kunnen volgende formules nuttig zijn.

Complexe wortels

Wortelknop op een rekenmachine

Met behulp van de opvatting van worteltrekken als machtsverheffen kunnen ook wortels uit complexe getallen gedefinieerd worden.

Algemeen geldt voor twee complexe getallen en :

Daarmee laat zich de -de-machtswortel van definiëren door:

.

De wortel is op deze wijze dubbelzinnig bepaald. Er zijn in het algemeen -de-machtswortels van de vorm:

voor .

Neemt men de hoofdwaarde van de logaritme, dan is de wortel uniek bepaald.

Voor de zo eenduidig bepaalde complexe wortels geldt niet meer algemeen de eigenschap:

Het volgende tegenvoorbeeld laat dit zien:

,

terwijl

In het algemeen geldt voor complexe getallen en en de met de hoofdwaarde bepaalde wortel:

.

Anderzijds is:

.

Hierin stelt de hoofdwaarde van de logaritme voor. Omdat niet noodzakelijk geldt dat , is de genoemde eigenschap niet geldig voor willekeurige complexe getallen.

Op dezelfde manier kunnen ook wortels uit een quaternion gedefinieerd worden. De verzameling van de -de-machtswortels van is:

waarbij een willekeurig geheel getal voorstelt en een willekeurige wortel van −1 is, dus zodanig dat . Er hoeft dus niet langer te gelden dat . Meer bepaald geldt nu: .

Herkomst √-teken

Leonhard Euler dacht dat het teken ontstaan was uit de r van radix, wortel. Later wees Duits onderzoek uit dat het wortelteken in Duitse handschriften rond 1500 is afgeleid uit een punt met een haal omhoog.[1] Het teken verscheen het eerst in druk voor een vierkantswortel in 1525 in Die Coss van de Duitse wiskundige Christoph Rudolff, waar ook de tekens '+' en '−' in druk opdoken.[2]

Read other articles:

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Fossombrone (disambigua). Fossombronecomune Fossombrone – Veduta LocalizzazioneStato Italia Regione Marche Provincia Pesaro e Urbino AmministrazioneSindacoMassimo Berloni (lista civica) dal 4-10-2021 TerritorioCoordinate43°41′20.24″N 12°48′22.03″E / 43.688956°N 12.806119°E43.688956; 12.806119 (Fossombrone)Coordinate: 43°41′20.24″N 12°48′22.03″E / 43....

 

Schwerte–WarburgOverviewLine number2550LocaleNorth Rhine-Westphalia, GermanyServiceRoute number435TechnicalLine length138 km (86 mi)Operating speed140 km/h (87.0 mph) 70 (maximum)Maximum incline0.145% Route map Legend Operating points and lines[1] Line from Hagen 155.6 Schwerte (Ruhr) 124 m Line to Hamm 156.0 Sof from Heide junction 158.0 Schwerte (Ruhr) Ost 158.0 Geisecke (Ruhr) 166.0 Langschede 120 m Hönne Valley Railway from Unna 170.9 Fröndenberg (Kei...

 

Опис файлу Опис Українське Дунайське пароплавство Джерело http://chalyi.pro/videogallery/ Автор зображення Ліцензія див. нижче Обґрунтування добропорядного використання для статті «Українське Дунайське пароплавство» [?] Мета використання в якості основного засобу візуально...

  Giải đua ô tô Công thức 1 Styria 2020Thông tin Chặng đua thứ 2 trong tổng số 17 chặng của Giải đua xe Công thức 1 2020 Hình dạng trường đua Red Bull RingNgày tháng 12 tháng 7 năm 2020Tên chính thức Formula 1 Pirelli Großer Preis der Steiermark 2020Địa điểm Red Bull RingSpielberg, Styria, ÁoĐường đua Trường đua chuyên dụngChiều dài đường đua 4.318 kmChiều dài chặng đua 71 vòng, 306.452 kmThời tiết N...

 

Silantom TongaDesaKantor Kepala Desa Silantom TongaNegara IndonesiaProvinsiSumatera UtaraKabupatenTapanuli UtaraKecamatanPangaribuanKode pos22472Kode Kemendagri12.02.13.2009 Luas... km²Jumlah penduduk... jiwaKepadatan... jiwa/km² Silantom Tonga adalah salah satu desa yang berada di Kecamatan Pangaribuan, Kabupaten Tapanuli Utara, Provinsi Sumatera Utara, Indonesia. Galeri Gereja GKPA Silantom Tonga Gereja GKPA Huta Dolok di Dusun Huta Dolok lbsKecamatan Pangaribuan, Kabupaten Tapanuli ...

 

Josef Anton Riedel, ca. 1910 Josef Anton Riedel auch Josef Riedel der Jüngere (* 20. April 1862 in Kořenov, damals Polaun; † 20. Januar 1924 in Tiefenbach, heute Ortsteil Desná II – Potočná der Gemeinde Desná) war ein böhmischer Chemiker und Unternehmer. Er stammte aus der gleichnamigen Glasmacher-Familie und übernahm nach dem Tod seines Vaters 1894 das Unternehmen, aus dem die heutige Firma Riedel Glas hervorging. Er leitete es bis zu seinem eigenen Tod 1924. Inhaltsverzeichnis 1...

24 Horas de Le Mans de 2023 Ronda 4 de 7 doCampeonato Mundial de Resistência da FIA Generalidades Desporto automobilismo Data 10 e 11 de junho de 2023 Organizador Federação Internacional do Automóvel e Automobile Club de l'Ouest Formato Campeonato Mundial de Resistência Cidade Circuito de La Sarthe, Le Mans Primeiro 51 Ferrari – AF Corse · 342 voltas James Calado Antonio Giovinazzi Alessandro Pier Guidi Segundo 8 Toyota Gazoo Racing · +1:21.793 Terceiro 2 Cadillac Racing · +1 volta ...

 

CarolPoster film CarolSutradara Todd Haynes Produser Elizabeth Karlsen Stephen Woolley Christine Vachon Ditulis oleh Phyllis Nagy BerdasarkanThe Price of Saltoleh Patricia HighsmithPemeranCate BlanchettRooney MaraKyle ChandlerSarah PaulsonPenata musikCarter BurwellSinematograferEdward LachmanPenyuntingAffonso GonçalvesPerusahaanproduksiNumber 9 FilmsFilm4 ProductionsKiller FilmsDistributorThe Weinstein CompanyStudioCanalTanggal rilis 17 Mei 2015 (2015-05-17) (Festival Film Can...

 

This page is an archive of past discussions. Do not edit the contents of this page. If you wish to start a new discussion or revive an old one, please do so on the current talk page. Photos again [This is an abbreviated version of a section now on Wikipedia talk:Romanian Wikipedians' notice board/Archive5] One photo still needing identification: Image:MTR Ceramic 4.jpg Amphora? - Jmabel | Talk 04:58, 2 September 2006 (UTC) Still unanswered - Jmabel | Talk 19:31, 17 November 2006 (UTC) Thank y...

Facilities in rural U.S. communities Small-town opera houses exist in rural communities throughout the United States. Unlike metropolitan opera houses in the United States and other areas of the world, small-town opera houses in the U.S. were constructed to operate as theatrical, versus operatic, performance venues. The name opera house was generally applied to the buildings to differentiate them from less reputable facilities. History From the 1850s to 1920s, opera houses were constructed in...

 

Rugby playerGuillaume RouetBirth nameGuillaume RouetDate of birth (1988-08-13) 13 August 1988 (age 35)Place of birthBayonne, FranceHeight1.70 m (5 ft 7 in)Weight71 kg (11 st 3 lb)Rugby union careerPosition(s) Scrum-halfSenior careerYears Team Apps (Points)2010– Bayonne 187 (148) Correct as of 14 April 2021International careerYears Team Apps (Points)2014– Spain 23 (45) Correct as of 14 April 2021 Guillaume Rouet (born 13 August 1988) is a rugby ...

 

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (فبراير 2016) الانتخابات التشريعية التونسية 2004  →1999 24 أكتوبر 2004 2009←  189 مقعدًا في مجلس النوابالمقاعد اللازمة للأ...

English painter (1842–1919) Thomas DavidsonPortrait by Charles Webb Moore, 1879Born(1842-01-17)17 January 1842St George Hanover SquareLondon, EnglandDiedNovember 1919 (aged 77)Walberswick, SuffolkNationalityEnglish Thomas Davidson RA (17 January 1842 – November 1919) was an English painter specialising in historical naval scenes. Life Davidson was born on 17 January 1842 in St George Hanover Square, London, England.[1] He lost his hearing at age four, whereupon he was sent as a pr...

 

Part of a series on theCulture of Tonga History Timeline Early empire Kingdom of Tonga (1900–1970) Muʻa Tuʻi Tonga Tuʻi Haʻatakalaua Tuʻi Kanokupolu 2006 Nukuʻalofa riots Cyclone Gita COVID-19 pandemic 2022 Hunga Tonga–Hunga Haʻapai eruption and tsunami People Languages Cuisine Religion Literature Music Sport Monuments Symbols Flag Coat of arms National anthem vte Tonga performing a wardance before their match vs. France at the 2011 Rugby World Cup. Rugby union is the national spor...

 

Stadium in Tacoma, Washington, US Stadium BowlPanoramic view from the south end in August 2014Former namesTacoma StadiumLocationTacoma, Washington, U.S.Coordinates47°16′01″N 122°26′56″W / 47.267°N 122.449°W / 47.267; -122.449OwnerTacoma Public SchoolsCapacity15,000SurfaceFieldTurfConstructionOpenedJune 10, 1910ArchitectFrederick HeathTenants Silas High School Stadium High School The Stadium Bowl (originally Tacoma Stadium) is a 15,000-seat stadium in the St...

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Lourdes Health System – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (September 2015) (Learn how and when to remove this template message) This article ne...

 

This is a list of the amphibian and reptile species recorded in Gibraltar. There are five amphibian and twenty-five reptile species in Gibraltar, of which one is critically endangered, two are endangered, one is vulnerable, and three are near threatened.[1] The following tags are used to highlight each species' conservation status as assessed by the International Union for Conservation of Nature: EX Extinct No reasonable doubt that the last individual has died. EW Extinct in the wild ...

 

Slovak political party Direction – Social Democracy Smer – sociálna demokraciaAbbreviationSmer–SDLeaderRobert FicoDeputy Leaders See list Ľuboš BlahaJuraj BlanárErik KaliňákLadislav KamenickýRichard Takáč General SecretaryMarián SaloňFounderRobert FicoFounded8 November 1999 (1999-11-08)Split fromParty of the Democratic LeftHeadquartersSúmračná 3263/25, 82102 BratislavaYouth wingYoung Social DemocratsMembership (2022) 13,095[1]IdeologyLeft-wing n...

Indian actor Dev KharoudBornDavinder Singh Kharoud (1989-04-22) 22 April 1989 (age 34)Patiala, Punjab, IndiaOccupationActorYears active2007–present Davinder Singh Kharoud, better known as Dev Kharoud, is an Indian actor who works in Punjabi cinema. He is best known for playing the role of Rupinder Gandhi in Rupinder Gandhi The Gangster and Mintu Gurusaria in Dakuan Da Munda. Career Kharoud started his career as a theatre artist with bhagwant mann as comedian and played various rol...

 

Russian tennis player Alexandra PanovaPanova at the 2022 French OpenNative nameАлександра ПановаCountry (sports) RussiaResidenceMoscow, RussiaBorn (1989-03-02) 2 March 1989 (age 34)Krasnodar, Russian SFSR, Soviet UnionHeight1.79 m (5 ft 10 in)PlaysRight (two-handed backhand)Prize moneyUS$1,504,195SinglesCareer record391–295 (57.0%)Career titles0 WTA, 8 ITFHighest rankingNo. 71 (30 July 2012)Grand Slam singles resultsAustralia...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!