특수 유니터리 군

수학에서 특수 유니터리 군(特殊unitary群, 영어: special unitary group)은 행렬식이 1인 유니터리 행렬의 리 군이다. 기호는 SU(n). 유니터리 군의 부분군이다.

정의

체 ${\displaystyle K}$가 자기 동형

${\displaystyle {\bar {\quad }}\colon K\to K}$

를 가진다고 하자. ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$와, ${\displaystyle V}$ 위의 비퇴화 반쌍선형 형식

${\displaystyle Q\colon V\times V\to K}$

${\displaystyle Q(au+bv,w)={\bar {a}}Q(u,w)+{\bar {b}}Q(v,w)}$

${\displaystyle Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)}$

가 주어졌을 때, 특수 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (V,Q)}$는 다음 조건을 만족시키는 특수선형군의 원소들의 군이다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (V,Q)=\{M\in \operatorname {SL} (V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}}$

특히, 만약 ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간이며, ${\displaystyle Q}$가 자명한 항등 이차 형식

${\displaystyle Q(u,v)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {u}}v}$

일 경우, 이를 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n;K)}$라고 쓴다. 만약 ${\displaystyle K}$를 생략하는 경우, ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$를 뜻한다.

또한, 만약 ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, ${\displaystyle V}$가 ${\displaystyle (p+q)}$차원 복소수 벡터 공간이며, ${\displaystyle Q}$의 계량 부호수가 ${\displaystyle (p,q)}$라면, 이는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (p,q)}$라고 쓴다.

리 대수

${\displaystyle \operatorname {SU} (n;K)}$의 리 대수

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n;K)=\{M\in {\mathfrak {gl}}(n;K)\colon M^{\dagger }=-M\}}$

은 ${\displaystyle n\times n}$ 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 ${\displaystyle M^{\dagger }=({\bar {M}})^{\top }={\overline {M^{\top }}}}$은 ${\displaystyle M}$에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 전치 행렬을 취한 것이다.

특히, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$는 파울리 행렬로 생성되며, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$는 겔만 행렬로 생성된다.

SU*(2n)

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n;\mathbb {C} )}$의 경우, ${\displaystyle {\mathfrak {su}}^{*}(2n)}$ 또는 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {H} )}$로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위에 심플렉틱 구조

${\displaystyle \Omega \in \operatorname {GL} (V;K)}$

${\displaystyle \Omega ^{2}=-1}$

${\displaystyle \Omega =-\Omega ^{\top }}$

가 주어졌다고 하자. (만약 ${\displaystyle V}$가 유한 차원일 때, ${\displaystyle V}$는 짝수 차원이 되며, 적절한 기저에서 ${\displaystyle \Omega }$를

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (2n;K)}$

의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 리 군을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {U} ^{*}(2n)=\{M\in \operatorname {GL} (2n;\mathbb {C} )\colon {\bar {M}}\Omega =\Omega M\}}$

${\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(2n)=\operatorname {U} ^{*}(2n)\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )}$

만약 ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$일 때, ${\displaystyle \operatorname {SU} ^{*}(2n)}$의 실수 리 대수는 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2n)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$의 실수 형태이다.

${\displaystyle K=\mathbb {C} }$일 때, 이 구성은 사원수로 적을 수 있다. 우선, 사원수 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ 위의 사원수 선형 변환의 리 군

${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {Aut} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{n})=\operatorname {U} ^{*}(2n)}$

을 생각하자. 이는 실수 ${\displaystyle 4n^{2}}$차원의 리 군이다. 이제, 임의의

${\displaystyle \iota \in \{q\in \mathbb {H} \colon q^{2}=-1,\;{\bar {q}}=-q\}=\{v_{1}\mathrm {i} +v_{2}\mathrm {j} +v_{3}\mathrm {k} \colon v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}=1\}}$

는 ${\displaystyle \mathbb {H} }$의 복소구조

${\displaystyle j\colon q\mapsto \iota q}$

를 정의하며, 이 복소구조에 대하여

${\displaystyle \operatorname {SL} (n;\mathbb {H} )=\operatorname {GL} (n;\mathbb {H} )\cap \operatorname {SL} (2n;\mathbb {C} )=\operatorname {SU} ^{*}(2n)}$

를 정의할 수 있다. 이 정의는 ${\displaystyle \iota }$의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

성질

군론적 성질

특수 유니터리 군의 중심은 다음과 같은 순환군이다.

${\displaystyle \operatorname {Z} (\operatorname {SU} (n))=\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots ,n-1\}\cong \mathbb {Z} /n}$

중심에 대한 몫군을 사영 특수 유니터리 군(영어: projective special unitary group)이라고 한다.

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} /n\cong \operatorname {Z} (\operatorname {SU} (n))\to \operatorname {SU} (n)\to \operatorname {PSU} (n)\to 1}$

리 이론적 성질

특수 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ 은 ${\displaystyle n^{2}-1}$차원 단순 리 군이며, 계수는 ${\displaystyle n-1}$이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 ${\displaystyle A_{n-1}}$이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.

${\displaystyle \bullet -\bullet -\cdots -\bullet }$

특수 유니터리 군의 극대 원환면은 다음과 같다.

${\displaystyle \left\{\operatorname {diag} \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n-1},\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}^{-1}\right)\colon \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n-1}\in \operatorname {U} (1)\right\}\subset \operatorname {SU} (n)}$

특수 유니터리 군의 바일 군은 다음과 같은 대칭군이다.

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (\operatorname {SU} (n))=\operatorname {Sym} (n)}$

대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 ${\displaystyle n}$차원 순열 표현(영어: permutation representation) 및 그 부분 표현인 ${\displaystyle n-1}$차원의 표준 표현(영어: standard representation)을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 ${\displaystyle n}$차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

위상수학적 성질

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$은 콤팩트 공간이며 연결 공간이며 단일 연결 공간이다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$는 3차원 초구 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$와 위상동형이다.

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {SO} (2n)\supset \operatorname {SU} (n)}$. 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SO} (2n)}$ 딘킨 도표에서 ${\displaystyle \circ }$로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-3}-\bullet -\bullet }$

• ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SO} (n)}$. 이는 실수 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬을 복소수 ${\displaystyle n\times n}$ 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
• ${\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)\supset \operatorname {U} (n)}$. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)}$ 딘킨 도표에서 ${\displaystyle \circ }$로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}-\circ \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n}}$

• ${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {USp} (2n)}$. 이는 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)}$의 딘킨 도표를 반으로 접어서 얻는다.

  ${\displaystyle \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet \atop \bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\rangle \bullet \qquad \to \qquad \overbrace {\bullet -\bullet -\cdots -\bullet } ^{n-1}\Leftarrow \bullet }$

• ${\displaystyle E_{7}\supset \operatorname {SU} (8)/(\mathbb {Z} /2)}$.^[1]:§4.12 이는 E₇ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad {\scriptstyle \otimes }-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet }$

• ${\displaystyle E_{8}\supset \operatorname {SU} (9)/(\mathbb {Z} /3)}$.^[1]:§5.11 이는 E₈의 ${\displaystyle \mathbb {Z} /3}$ 자기 동형에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E₈ 딘킨 도표에서, ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$로 표시한 꼭짓점을 추가하여 아핀 딘킨 도표로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 ${\displaystyle \circ }$을 제거하여 얻는다.

  ${\displaystyle \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet \qquad \to \qquad \bullet -\bullet -{\overset {\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\bullet }}-\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }\qquad \to \qquad \bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -\bullet -{\scriptstyle \otimes }}$

• ${\displaystyle G_{2}\supset \operatorname {SU} (3)}$

예외적 동형

낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 예외적 동형(영어: exceptional isomorphism)이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong 1}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)}$

${\displaystyle \operatorname {PSU} (2)\cong \operatorname {SO} (3)}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (4)}$

${\displaystyle \left(\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\right)/(\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {SO} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6)}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (4)/(\mathbb {Z} /2)\cong \operatorname {SO} (6)}$

${\displaystyle \operatorname {PSU} (4)\cong \operatorname {PSO} (6)}$

표현론

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$의 유한 차원 연속 표현들은 영 타블로에 의하여 분류된다. 이 경우, 정의 표현(영어: defining representation) ${\displaystyle \square }$은 ${\displaystyle n}$차원 표현이며, 그 켤레 ${\displaystyle {\bar {\square }}}$ 역시 ${\displaystyle n}$차원 표현이다. 또한, ${\displaystyle n^{2}-1}$차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 ${\displaystyle j\in {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} }$에 의하여 분류된다. 이를 표현의 스핀이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 클렙슈-고르단 계수에 의하여 정해진다.

응용

SU(n)은 입자물리학의 표준 모형에서 쓰인다. SU(2)는 약전자기력에, SU(3)은 양자 색역학에 쓰인다.

각주

1. Yokota, Ichiro (2009년 2월). “Exceptional Lie groups” (영어). arXiv:0902.0431. Bibcode:2009arXiv0902.0431Y. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Special unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Projective special unitary group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Special unitary group”. 《nLab》 (영어). 
• “Special unitary Lie algebra”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• SU(2)
• 유니터리 군
• 직교군
• 심플렉틱 군