극대 원환면

리 군론에서 극대 원환면({極大圓環面, 영어: maximal torus 맥시멀 토러스^[*])은 어떤 콤팩트 리 군 속의 연결 콤팩트 닫힌 아벨 부분군 가운데 극대 원소인 것이다.

정의

${\displaystyle G}$가 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. ${\displaystyle G}$ 속의, 원환면 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$과 미분 동형인 닫힌 부분군

${\displaystyle T\subseteq G}$

들의 집합을 생각하자. 이들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다. 이 부분 순서 집합의 극대 원소를 ${\displaystyle G}$의 극대 원환면이라고 한다.

성질

연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$ 및 그 극대 원환면이 주어졌을 때, 모든 원소 ${\displaystyle g\in G}$는 (임의의) 극대 원환면 ${\displaystyle T}$의 원소와 켤레 동치이다. 즉, 항상 ${\displaystyle x^{-1}gx\in T}$가 되는 ${\displaystyle x\in G}$를 찾을 수 있다.

증명:

임의의 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle x^{-1}gx\in T}$가 되는 ${\displaystyle x\in G}$를 찾아야 한다. 이러한 ${\displaystyle x}$는

${\displaystyle gx\in xT}$

이므로, ${\displaystyle G/T}$ 위의 ${\displaystyle G}$의 왼쪽 군 작용의 고정점을 이룬다. ${\displaystyle T}$가 부분군이므로, 반대로 ${\displaystyle G/T}$의 모든 고정점 ${\displaystyle xT}$은 이러한 ${\displaystyle x}$에 대응한다.

${\displaystyle G/T}$가 콤팩트 공간이므로, 렙셰츠 고정점 정리를 사용하여, ${\displaystyle g}$의 작용의 렙셰츠 수가 0이 아님을 보이면 족하다. 렙셰츠 수는 호모토피류에 대하여 불변량이다. ${\displaystyle G}$가 경로 연결 공간이므로, ${\displaystyle g}$의 작용은 ${\displaystyle 1_{G}\in G}$의 작용(즉, 항등 함수)과 호모토픽하며, 항등 함수의 렙셰츠 수는 오일러 지표와 같다. 즉, ${\displaystyle G/T}$의 오일러 지표 ${\displaystyle \chi (G/T)}$가 0이 아님을 보이면 족하다.

이를 계산하기 위하여, 원소 ${\displaystyle t\in T}$ 가운데, ${\displaystyle t}$로 생성되는 부분군 ${\displaystyle t^{\mathbb {Z} }}$가 ${\displaystyle T}$의 조밀 집합을 이루는 것을 고르자. (${\displaystyle T}$가 원환면이므로, 이는 항상 가능하며, 거의 모든 ${\displaystyle t\in T}$에 대하여 이러한 성질이 성립한다.) 그렇다면, ${\displaystyle t}$의 작용의 고정점은 ${\displaystyle T}$의 정규화 부분군 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(T)}$의 원소이다. 즉, ${\displaystyle G/T}$ 위의 고정점의 집합은 ${\displaystyle \operatorname {N} _{G}(T)/T}$이다. ${\displaystyle T}$가 극대 원환면이라면, 이는 유한 집합이다. 그 모든 원소들은 서로 켤레이므로, 같은 지표를 갖는다. 따라서, 고정점 ${\displaystyle T=1_{G}T\in \operatorname {N} _{G}T}$의 지표가 0이 아님을 보이면 족하다. 이는 1임을 쉽게 확인할 수 있다. 즉, ${\displaystyle \chi (G/T)=|\operatorname {N} _{G}(T)/T|\geq 1}$이며, 모든 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여 ${\displaystyle x^{-1}gx\in T}$인 ${\displaystyle x\in G}$가 존재한다.

존재와 유일성

모든 연결 콤팩트 리 군은 하나 이상의 극대 원환면을 갖는다. 극대 원환면은 일반적으로 유일하지 않지만, 연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$의 모든 극대 원환면들은 서로 켤레 동치이다.

증명:

임의의 두 극대 원환면 ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle T'}$이 주어졌으며, ${\displaystyle t\in T}$ 및 ${\displaystyle t'\in T'}$에 대하여, ${\displaystyle t}$로 생성되는 부분군이 ${\displaystyle T}$의 조밀 집합이며, ${\displaystyle t'}$도 ${\displaystyle T'}$에 대하여 마찬가지라고 하자. 그렇다면, 항상 ${\displaystyle gtg^{-1}=t'}$인 ${\displaystyle g\in G}$를 찾을 수 있으므로, ${\displaystyle gTg^{-1}=T'}$가 된다.

즉, 연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$의 경우 바일 군이 유일하게 정의된다.

단순 리 군과 단순 리 대수는 근계에 의하여 분류된다. 이 경우, 리 군/대수의 바일 군은 그 근계의 바일 군과 일치한다.

차원

연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$의 극대 원환면의 차원은 ${\displaystyle G}$의 계수와 같다. 즉, 그 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)}$를 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합

${\displaystyle {\mathfrak {lie}}(G)={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}$

으로 분해하였을 때, ${\displaystyle T}$의 차원은 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$의 차원과 ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$의 딘킨 도표의 꼭짓점의 수의 합과 같다.

${\displaystyle \dim T=\dim {\mathfrak {a}}\oplus |\operatorname {V} (\operatorname {Dynkin} ({\mathfrak {s}}))|}$

바일 군의 작용

연결 콤팩트 리 군 ${\displaystyle G}$의 극대 원환면 ${\displaystyle T}$가 주어졌을 때, 그 바일 군

${\displaystyle \operatorname {Weyl} (G,T)=\operatorname {N} _{G}(T)/\operatorname {C} _{G}(T)}$

은 ${\displaystyle T}$ 위에 자연스럽게 작용한다. 이에 대한 몫공간

${\displaystyle T/\operatorname {Weyl} (G/T)}$

은 ${\displaystyle G}$의 켤레류의 공간과 동형이다.

예

유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\exp(\mathrm {i} \theta _{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n}))\colon \theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {U} (n)}$

특수 유니터리 군 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같이 대각 행렬로 구성되는 부분군이다.

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (\exp(\mathrm {i} \theta _{1}),\exp(\mathrm {i} \theta _{2}),\dotsc ,\exp(\mathrm {i} \theta _{n-1}),\exp(-\mathrm {i} (\theta _{1}+\theta _{2}+\dotsb +\theta _{n-1}))\colon \theta _{1},\theta _{2},\dotsc ,\theta _{n-1}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SU} (n)}$

특수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (2n)}$의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta _{1}),R(\theta _{2}),\dotsc ,R(\theta _{n}))\colon \theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n)}$

여기서

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$

이다. 특수 직교군 ${\displaystyle \operatorname {SO} (2n+1)}$의 극대 부분군 가운데 하나는 다음과 같다.

${\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (R(\theta _{1}),R(\theta _{2}),\dotsc ,R(\theta _{n}),0_{1\times 1})\colon \theta _{1},\dotsc ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}\leq \operatorname {SO} (2n+1)}$

같이 보기

• 카르탕 부분 대수
• 브뤼아 분해
• 바일 지표 공식

참고 문헌

• Humphreys, James E. (1972). 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》 (영어). 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal torus”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal tori theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Maximal torus”. 《nLab》 (영어).