고정점

수학에서 고정점(固定點, 영어: fixed point) 또는 부동점(不動點, 영어: invariant point)은 함수나 변환 따위에서 옮겨지지 않는 점이다. 실수 위의 함수의 고정점은 그래프와 직선 ${\displaystyle y=x}$의 교점에 대응한다. 예를 들어, 함수 ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4}$의 한 고정점은 2이며, 이는 ${\displaystyle f(2)=2}$이기 때문이다. 반면 함수 ${\displaystyle g(x)=x+1}$는 고정점을 가지지 않는데, 이는 그 그래프가 직선 ${\displaystyle y=x}$의 평행선이기 때문이다. 사영기하학에서, 사영 변환의 고정점을 이중점(二重點, double point)이라고 한다.^[1] 갈루아 이론에서, 체 자기 동형 집합의 고정점이 이루는 체를 그 체 자기 동형 집합의 고정체(固定體, 영어: fixed field)라고 한다.

정의

함수 ${\displaystyle f\colon X\to X}$의 고정점은 ${\displaystyle f(x)=x}$를 만족시키는 ${\displaystyle x\in X}$이다.

고정점은 주기점의 특수한 경우이다. 또한, 고정점은 끌개의 특수한 경우이다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$가 다음 조건을 만족시키면, 고정점 성질(固定點性質, 영어: fixed-point property, 약자 FPP)라고 한다.

• 임의의 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to X}$는 고정점을 갖는다.

함수 ${\displaystyle f\colon X\to X}$의 유인 고정점(誘引不動點, attractive fixed point)은 다음 조건을 만족시키는 근방 ${\displaystyle X\supseteq U\ni x}$를 갖는 고정점 ${\displaystyle x\in X}$이다.

• 임의의 ${\displaystyle y\in U}$에 대하여, 점렬 ${\displaystyle (y,f(y),f(f(y)),\dots )}$는 ${\displaystyle x}$로 수렴한다.

유인 고정점의 근삿값은 그 주위의 점을 초기값으로 한 함수 반복 점렬에 의한 점근을 통해 구할 수 있다. 이를 통해 방정시 ${\displaystyle f(x)=x}$의 근사해를 구하는 방법을 고정점 반복법(固定點反復法, 영어: fixed-point iteration)이라고 한다.

랴푸노프 안정성을 만족시키는 고정점을 안정 고정점(安定不動點, stable fixed point)이라고 한다. 랴푸노프 안정성을 만족시키는 비(非) 유인 고정점을 중립 안정 고정점(中立安定不動點, neutrally stable fixed point)이라고 한다.

전고정점과 후고정점

부분 순서 집합 ${\displaystyle (X,\leq )}$ 위의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to X}$가 만약^[2]

• ${\displaystyle f(x)\geq x}$를 만족시키면, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle f}$의 전고정점(영어: prefixpoint)이라고 한다.
• ${\displaystyle f(x)\leq x}$를 만족시키면, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle f}$의 후고정점(영어: postfixpoint)이라고 한다.

성질

고정점 성질은 위상 불변 성질이다. 즉, 임의의 위상동형사상에 의하여 보존된다. 또한, 고정점 성질은 임의의 변형 수축에 대하여 보존된다.

고정점이 존재할 충분 조건을 제시하는 정리를 고정점 정리(固定點定理, 영어: fixed-point theorem)라고 한다. 중요한 고정점 정리는 다음과 같다.

• 바나흐 고정점 정리
• 브라우어르 고정점 정리
• 렙셰츠 고정점 정리

만약 ${\displaystyle f\colon I\to I}$가 구간 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 위의 연속 미분 가능 함수이며, 그 고정점 ${\displaystyle x\in I}$가 ${\displaystyle |f'(x)|<1}$을 만족시킨다면, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle f}$의 유인 고정점이다. 실제 유인 고정점에 대한 반복법에서, ${\displaystyle |x_{n+1}-x_{n}|}$이 원하는 오차보다 작아질 때 고정점 반복을 몇 번째 계산에서 멈추는지 결정할 수 있다.^[3]

고정점은 유인 고정점이 아닐 수 있다. 예를 들어, 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\mapsto 2x}$는 유일한 고정점 0을 가지지만, 임의의 ${\displaystyle x\neq 0}$에 대하여, 수열 ${\displaystyle x,2x,4x,8x,\dots }$는 발산한다.

크나스터-타르스키 정리에 의하면, 완비 격자 위의 단조 함수는 최소 고정점을 가지며, 이는 최소 전고정점과 일치한다. (마찬가지로 최대 고정점을 가지며, 최대 후고정점과 일치한다.

예

코사인에 대한 고정점반복 (시작점 x₀ = −1). 사실 임의의 실수 x를 계산기에 입력한 뒤 cos 키를 누르기를 반복하면, 결과값은 약 0.739085133으로 수렴하는데, 이 값이 바로 cos 함수의 유인 고정점이다.

삼각 함수 ${\displaystyle \cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$는 바나흐 고정점 정리에 따라 유일한 고정점을 가지며, 이는 유인 고정점이다. 또한, 임의의 실수 ${\displaystyle x_{0}}$에 대하여, 함수 반복 점렬

${\displaystyle x_{n+1}=\cos x_{n}}$

은 고정점으로 수렴한다.

2계 제차 선형 미분 방정식의 중심은 중립 안정 고정점의 예다.

응용

많은 분야에서 평형, 또는 안정성은 고정점으로 설명할 수 있는 핵심 개념이다. 예를 들어 경제학에서 내시 균형은 게임의 최적 반응 함수의 고정점이다. 물리학의 상전이 이론에서, 불안정 고정점 부근에서의 선형화는 윌슨의 노벨 물리학상 '수상작'인 재규격화군으로 이어졌다.

컴파일러에서, 고정점 계산은 프로그램 분석에 사용된다. 그 예로 데이터 흐름 분석이 있다.

웹페이지의 페이지랭크 벡터는 월드 와이드 웹의 링크 구조에서 얻어지는 선형변환의 고정점이다.

논리학자 솔 크립키는 그의 영향력 있는 진리 이론에 고정점을 활용하였다.

고정점의 개념을 함수의 수렴성의 정의에 사용할 수 있다.

전고정점과 후고정점은 이론 전산학에서 응용된다.^[4]

역사

1932년, 카롤 보르수크는 콤팩트성과 축약 가능성이 고정점 성질의 필요충분조건이냐는 질문을 내놓았다. 이는 20년 후 신이치 키노시타가 고정점 성질을 만족시키지 않는 콤팩트 축약 가능 공간을 발견해 거짓임이 증명되었다.^[5]

같이 보기

• 고유 벡터
• 평형점
• 임계점 (수학)
• 뫼비우스 변환
• 불변량
• 멱등 법칙
• 닐슨 이론
• 시에르핀스키 삼각형
• 코에닉스 함수
• 점화식

각주

1. Coxeter, H. S. M. (1942). 《Non-Euclidean Geometry》 (영어). University of Toronto Press. 36쪽. 
2. B. A. Davey; H. A. Priestley (2002). 《Introduction to Lattices and Order》 (영어). Cambridge University Press. 182쪽. ISBN 978-0-521-78451-1. 
3. Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 54-56쪽. ISBN 978-89-966211-8-8. 
4. Yde Venema (2008) Lectures on the Modal μ-calculus Archived 2012년 3월 21일 - 웨이백 머신 (영어)
5. Kinoshita, S. (1953). “On Some Contractible Continua without Fixed Point Property”. 《Fund. Math.》 (영어) 40 (1): 96–98. ISSN 0016-2736. 

외부 링크

• Animations for Fixed Point Iteration (영어)
• An Elegant Solution for Drawing a Fixed Point (영어)