재규격화군

양자장론과 응집물질물리학에서 재규격화군(再規格化群, renormalization group, 약자 RG) 또는 되맞춤군은 주어진 계가 서로 다른 눈금에서 관측하였을 때 서로 다른 현상이 나타나는 정도를 나타내는 수학적 도구다.^[1]:393 관찰하는 눈금이 달라지면서, 계의 각종 상수(결합 상수나 질량)가 유효적으로 변화한다. 이에 따라, 눈금에 따라 서로 다르게 보이는 유효 이론을 작성할 수 있다. 재규격화 변환은 가역변환이 아니므로 재규격화군은 수학적인 군이 아니라, 모노이드의 일종이다.^[1]:401

전개

주행 결합 상수와 베타 함수

양자장론에서 유한한 관측 가능량을 계산하려면 이론을 재규격화하여야 하는데, 재규격화 방법은 임의의 에너지 눈금 ${\displaystyle \mu }$에 의존한다. 이를 재규격화 눈금(renormalization scale)이라고 한다. 관측 가능량의 값들은 재규격화 눈금에 의존하지 않지만, 결합 상수는 직접적인 관측 가능량이 아니므로 사용하는 재규격화 눈금 ${\displaystyle \mu }$에 따라 값이 바뀐다. 이 현상을 결합 상수의 주행(走行, 영어: running of the coupling constant)이라고 한다.

결합 상수 ${\displaystyle g}$의 주행은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.^[1]:417

${\displaystyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial \mu }}={\frac {1}{\mu }}\beta (g)}$.

여기서 함수 ${\displaystyle \beta (g)}$를 결합 상수 ${\displaystyle g}$의 베타 함수(β函數, 영어: beta function)라고 한다. 즉, 결합 상수의 주행은 베타 함수를 통해 나타낼 수 있다. (이는 수학에서의 베타 함수과는 관계없는 값이다.)

마찬가지로, 일반적인 국소 연산자 ${\displaystyle O(x)}$의 재규격화 인자 ${\displaystyle O_{0}(x)=Z_{O}(\mu )O(x;\mu )}$도 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]:430

${\displaystyle \gamma (g)={\frac {\mu }{Z_{O}}}{\frac {\partial Z_{O}}{\partial \mu }}}$.

여기서 함수 ${\displaystyle \gamma (g)}$를 비정상 차원(非正常次元, 영어: anomalous scaling dimension)이라고 한다.^[1]:427

캘런-쥐만치크 방정식

상관 함수 또한 관측 가능량이 아니므로 재규격화 눈금에 의존한다. 이는 다음과 같은 캘런-쥐만치크 방정식(-方程式, 영어: Callan–Symanzik equation)으로 나타낼 수 있다.^[1]:410[2] 재규격화 눈금 ${\displaystyle \mu }$에서 ${\displaystyle n}$개의 입자가 결합 상수 ${\displaystyle g}$에 의존하여 상호 작용한다면, 이에 해당하는 상관 함수 ${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n};\mu ,g)}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \ln \mu }}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n\gamma (g)\right)G^{(n)}=0}$.

여기서 ${\displaystyle \gamma (g)}$는 장의 비정상 차원이다. 만약 상관 함수가 여러 종의 장들을 포함한다면, 각 종마다 서로 다른 비정상 차원을 사용한다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \ln \mu }}+\beta (g){\frac {\partial }{\partial g}}+n_{1}\gamma _{1}(g)+n_{2}\gamma _{2}(g)+\dotsb \right)G^{(n)}=0}$.

마찬가지로, 상관 함수가 여러 개의 결합 상수에 의존한다면 각 결합 상수에 대한 베타 함수 항을 추가한다.

정확한 재규격화군 방정식

캘런-쥐만치크 방정식은 근사적이지만, 정확 재규격화군 방정식(exact renormalization group equation)도 존재한다.^[3][4][5] 대표적인 예로 윌슨 ERGE와 폴친스키 ERGE가 있다.

역사

1951년에 스위스의 수학자이자 이론 물리학자 에른스트 카를 게를라흐 스튀켈베르크(스위스 독일어: Ernst Carl Gerlach Stueckelberg)와 프랑스의 이론 물리학자 앙드레 페테르만(프랑스어: André Petermann)이 도입하였다.^[6][7][8][9]

1954년에 머리 겔만과 프랜시스 유진 로(영어: Francis Eugene Low)는 재규격화군을 양자 전기역학에 대하여 적용하였고, 이로부터 기본 전하의 재규격화를 유도하였다.^[10] 니콜라이 보골류보프(Никола́й Никола́евич Боголю́бов)와 드미트리 시르코프(Дми́трий Васи́льевич Ширко́в)는 1950년대에 "재규격화군"이라는 용어와 결합 상수의 주행을 나타내는 베타 함수를 도입하였다.^[8][11] (스튀켈베르크와 페테르만은 "규격화군"(normalization group)이라는 용어를 사용하였다.)

캘런-쉬만치크 방정식은 미국의 물리학자 커티스 캘런^[12]과 독일의 물리학자 쿠르트 쥐만치크^[13][14] 가 독자적으로 발견하였다.

리오 카다노프^[15]와 케네스 윌슨 등이 이를 개선하고 응집물질물리학에 대하여 응용하였다. 이 공로로 윌슨은 노벨 물리학상을 수상하였다.

같이 보기

• 차단 (물리학)
• 재규격화
• 조절 (물리학)

각주

1. Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995년 10월). 《An introduction to quantum field theory》. Westview Press. ISBN 0-201-50397-2. 2014년 9월 2일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 1월 15일에 확인함. 
2. Coleman, Sidney (1985). 〈Dilatations〉. 《Aspects of Symmetry: Selected Erice Lectures》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. 86쪽. doi:10.1017/CBO9780511565045.004. ISBN 9780521267069. 
3. Bagnuls, C.; C. Bervillier (2001년 7월). “Exact renormalization group equations: An introductory review”. 《Physics Reports》 (영어) 348 (1–2): 91–157. arXiv:hep-th/0002034. doi:10.1016/S0370-1573(00)00137-X. 
4. Rosten, Oliver J. (2012년 2월). “Fundamentals of the exact renormalization group”. 《Physics Reports》 (영어) 511 (4): 177-272. arXiv:1003.1366. doi:10.1016/j.physrep.2011.12.003. 
5. Sonoda, Hidenori (2007년 10월). “The exact renormalization group: renormalization theory revisited” (영어). arXiv:0710.1662. 
6. Stueckelberg, E. C. G.; André Petermann (1951). “The normalization group in quantum theory”. 《Helvetica Physica Acta》 24: 317.  재판 〈The normalization group in quantum theory〉. 《E.C.G. Stueckelberg, An Unconventional Figure of Twentieth Century Physics》. Basel: Birkhäuser. 2009. 395–398쪽. doi:10.1007/978-3-7643-8878-2_30. ISBN 978-3-7643-8877-5. 
7. Stueckelberg, E.C.G.; André Petermann (1953). “La normalisation des constantes dans la theorie des quanta”. 《Helvetica Physica Acta》 (프랑스어) 26: 499–520. 
8. Shirkov, Dmitrij V. (2001년 8월 30일). “Fifty years of the renormalization group”. 《CERN Courier》. 
9. Zichichi, Antonino (2012년 3월 27일). “Interactions with André Petermann”. 《CERN Courier》. 
10. Gell-Mann, Murray; F. E. Low (1954년 9월). “Quantum Electrodynamics at Small Distances”. 《Physical Review》 95 (5): 1300–1312. doi:10.1103/PhysRev.95.1300. 
11. Bogoljubov, N.N.; D. V. Širkov (1956년 5월 1일). “Charge renormalization group in quantum field theory”. 《Il Nuovo Cimento (Series 10)》 3 (5): 845–863. doi:10.1007/BF02823486. 
12. Callan, Curtis G., Jr. (1970년 10월 15일). “Broken scale invariance in scalar field theory”. 《Physical Review D》 (영어) 2 (8): 1541–1547. doi:10.1103/PhysRevD.2.1541. 
13. Symanzik, Kurt (1970년 9월 1일). “Small distance behaviour in field theory and power counting”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 18 (3): 227–246. doi:10.1007/BF01649434. 
14. Symanzik, Kurt (1971년 3월 1일). “Small-distance-behaviour analysis and Wilson expansions”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 23 (1): 49–86. doi:10.1007/BF01877596. 
15. Kadanoff, Leo P. (1966년 6월). “Scaling laws for Ising models near T°_c” (PDF). 《Physics》 (영어) 2 (6): 263–272. 2011년 8월 8일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 15일에 확인함.  재판 Kadanoff, Leo P. (1993년 10월). 〈Scaling laws for Ising models near T°_c〉. 《From Order to Chaos》 (영어). Singapore: World Scientific. 165–174쪽. doi:10.1142/9789812798763_0011. ISBN 978-981-02-1197-4. 

참고 문헌

• Shirkov, Dmitrij V. (1999년 9월). “Evolution of the Bogoliubov renormalization group” (영어). arXiv:hep-th/9909024. 
• Delamotte, Bertrand (2004년 2월). “A hint of renormalization”. 《American Journal of Physics》 (영어) 72 (2): 170–184. arXiv:hep-th/0212049. doi:10.1119/1.1624112. 
• Hollowood, Timothy J. (2009). “Six lectures on QFT, RG and SUSY” (영어). arXiv:0909.0859. 
• Stevenson, P. M. (1981년 4월 1일). “Dimensional Analysis in field theory”. 《Annals of Physics》 (영어) 132 (2): 383–403. doi:10.1016/0003-4916(81)90072-5. 
• Gies, Holger (2012). 〈Introduction to the functional RG and applications to gauge theories〉. 《Renormalization group and effective field theory approaches to many-body systems》. Lecture Notes in Physics (영어) 852. Springer-Verlag. arXiv:hep-ph/0611146. doi:10.1007/978-3-642-27320-9_6. ISBN 978-3-642-27319-3. 
• Kirkinis, Eleftherios (2012). “The renormalization group: a perturbation method for the graduate curriculum”. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Review》 (영어) 54 (2): 374–388. doi:10.1137/080731967. 

통계역학에서의 응용

• 김두철 (1983년 12월 25일). 《상전이와 임계현상》. 민음사. ISBN 89-374-3503-9. 
• Fisher, Michael E. (1998). “Renormalization group theory: Its basis and formulation in statistical physics”. 《Reviews of Modern Physics》 (영어) 70 (2): 653–681. doi:10.1103/RevModPhys.70.653. 
• Sfondrini, Alessandro. “An introduction to universality and renormalization group techniques” (영어). arXiv:1210.2262. 
• Goldenfeld, Nigel (1992년 7월). 《Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group》 (영어). Frontiers in Physics. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 978-0-201-55409-0. 
• Zinn-Justin, Jean (2010년 5월 3일). “Critical Phenomena: field theoretical approach”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (5): 8346. doi:10.4249/scholarpedia.8346. 
• Shankar, Ramamurti (2010년 7월 22일). “Renormalization group for non-relativistic fermions”. 《Scholarpedia》 (영어) 5 (9): 9575. doi:10.4249/scholarpedia.9575. 
• Maris, H.J.; Leo P. Kadanoff (1978년 6월). “Teaching the renormalization group”. 《American Journal of Physics》 (영어) 46 (6): 652–657. doi:10.1119/1.11224. 

외부 링크

• Zinn-Justin, Jean (2009). “Renormalization group: An introduction” (PDF) (영어). 2012년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 15일에 확인함. 
• Meden, Volker. “Functional renormalization group” (PDF) (영어). 2014년 7월 15일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 1월 15일에 확인함. 
• “Renormalization group analysis”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.