전치 행렬

어떤 행렬의 전치 행렬은 그 행렬을 주대각선을 기준으로 하여 뒤집어 얻을 수 있다. 똑같은 방법으로 한 번 더 뒤집으면 원래 행렬로 돌아온다.

선형대수학에서 전치 행렬(轉置行列, 영어: transposed matrix)은 행과 열을 교환하여 얻는 행렬이다. 즉, 주대각선을 축으로 하는 반사 대칭을 가하여 얻는 행렬이다. 기호는 ${\displaystyle A^{\operatorname {T} }}$, ${\displaystyle A^{\top }}$, ${\displaystyle ^{\operatorname {t} }A}$, ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$.

정의

${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$의 전치 행렬 ${\displaystyle M^{\operatorname {T} }}$은 다음과 같은 ${\displaystyle n\times m}$ 행렬이다.

${\displaystyle M_{ij}^{\operatorname {T} }=M_{ji}}$

선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$의 전치 선형 변환(영어: transposed linear map) ${\displaystyle T^{\operatorname {T} }\colon W^{*}\to V^{*}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle (T^{\operatorname {T} }g)(v)=gTv\qquad \forall g\in W^{*},\;v\in V}$

성질

전치 행렬

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M,N}$ 및 스칼라 ${\displaystyle c}$에 대하여,

${\displaystyle (M+N)^{\operatorname {T} }=M^{\operatorname {T} }+N^{\operatorname {T} }}$

${\displaystyle (cM)^{\operatorname {T} }=cM^{\operatorname {T} }}$

${\displaystyle M^{\operatorname {T} \operatorname {T} }=M}$

가 성립하며, ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle n\times p}$ 행렬 ${\displaystyle N}$에 대하여,

${\displaystyle (MN)^{\operatorname {T} }=N^{\operatorname {T} }M^{\operatorname {T} }}$

가 성립한다.

서로 전치 행렬의 계수와 대각합과 행렬식은 서로 같다.

${\displaystyle \operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {rank} M}$

증명:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rank} M^{\operatorname {T} }&=m-\dim \ker M^{\operatorname {T} }\\&=m-\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}^{\circ }\\&=\dim\{MX\colon X\in K^{n}\}\\&=\operatorname {rank} M\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {tr} M^{\operatorname {T} }=\operatorname {tr} M}$

${\displaystyle \det M^{\operatorname {T} }=\det M}$

특히, ${\displaystyle n\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

${\displaystyle (M^{\operatorname {T} })^{-1}=(M^{-1})^{\operatorname {T} }}$

행렬 ${\displaystyle M}$을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

${\displaystyle JM^{\operatorname {T} }J\qquad (J_{ij}=\delta _{n+1-i,j})}$

전치 선형 변환

선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \ker T^{\operatorname {T} }=T(V)^{\circ }}$

증명:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ker T^{\operatorname {T} }&=\{g\in W^{*}\colon T^{\operatorname {T} }g=0\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gTv=0\forall v\in V\}\\&=\{g\in W^{*}\colon gw=0\forall w\in T(V)\}\\&=T(V)^{\circ }\end{aligned}}}$

만약 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

${\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }}$

증명:

만약 ${\displaystyle f\in T^{\operatorname {T} }(W^{*})}$라면, ${\displaystyle f=T^{\operatorname {T} }g}$인 ${\displaystyle g\in W^{*}}$가 존재한다. 임의의 ${\displaystyle v\in \ker T}$에 대하여,

${\displaystyle f(v)=gTv=g0=0}$

이므로, ${\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})\subseteq (\ker T)^{\circ }}$이다. 또한,

${\displaystyle \dim(\ker T)^{\circ }=\dim V-\dim \ker T=\operatorname {rank} T=\operatorname {rank} T^{\operatorname {T} }}$

이므로, ${\displaystyle T^{\operatorname {T} }(W^{*})=(\ker T)^{\circ }}$이다.

만약 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 유한 차원 벡터 공간일 경우, ${\displaystyle T\colon V\to W}$의 기저 ${\displaystyle B\subseteq V}$ 및 ${\displaystyle B'\subseteq W}$에 대한 행렬이 ${\displaystyle M}$이라고 하면, 전치 선형 변환 ${\displaystyle T^{\operatorname {T} }}$의 쌍대 기저 ${\displaystyle {B'}^{*}\subseteq W^{*}}$및 ${\displaystyle B^{*}\subseteq V^{*}}$에 대한 행렬은 ${\displaystyle M^{\operatorname {T} }}$이다.

증명:

두 기저를 다음과 같이 쓰자.

${\displaystyle B=\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle B'=\{e_{1}',\dots ,e_{n}'\}}$

또한 ${\displaystyle T}$의 ${\displaystyle B,B'}$에 대한 행렬을 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle T^{\operatorname {T} }}$의 ${\displaystyle {B'}^{*},B^{*}}$에 대한 행렬을 ${\displaystyle N}$이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle M_{ij}=e_{i}^{*}Te_{j}=(T^{\operatorname {T} }e_{i}^{*})(e_{j})=N_{ji}}$

이므로, ${\displaystyle N=M^{\operatorname {T} }}$이다.

예

전치 행렬의 예는 다음과 같다.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}}}$
• 여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

같이 보기

• 상관행렬

각주

1. Golyshev, Vasily; Stienstra, Jan (2007년 1월 31일). “Fuchsian equations of type DN” (영어). arXiv:math/0701936. 

참고 문헌

• Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

외부 링크

• “Transposed matrix”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transpose”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Transpose matrix”. 《nLab》 (영어). 
• “Transpose”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Transpose of matrix”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Transpose of Linear Transformation”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Rank and nullity of transpose”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Transpose of matrix product”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Determinant of transpose”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Transpose of linear transformation is a linear transformation”. 《ProofWiki》 (영어).