외접원

삼각형의 외접원과 외심

기하학에서 외접원(外接圓, 영어: circumscribed circle, circumcircle)은 주어진 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. 외심(外心, 영어: circumcenter)은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.

정의

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 외접원이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 내접 다각형(內接多角形, 영어: cyclic polygon, inscribed polygon)이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) 사각형을 내접 사각형이라고 한다.

성질

다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.

모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

예각·직각·둔각 삼각형의 외심

예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 둔각 삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.

반지름

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원의 반지름을 ${\displaystyle R}$라고 하고, 세 변의 길이를 ${\displaystyle a=BC}$, ${\displaystyle b=CA}$, ${\displaystyle c=AB}$라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 (사인 법칙).

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

삼각형의 넓이를 ${\displaystyle S}$라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$

증명:

삼각형의 넓이는 한 변의 길이 ${\displaystyle a}$와 그 변 위의 높이 ${\displaystyle b\sin C}$의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin C={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}={\frac {abc}{4R}}}$

이다.

삼각형의 내접원의 반지름을 ${\displaystyle r}$라고 하자. 그렇다면 외심 ${\displaystyle O}$와 내심 ${\displaystyle I}$ 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

${\displaystyle OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}}$

특히 다음 부등식이 성립한다 (오일러 부등식).

${\displaystyle R\geq 2r}$

오일러 직선

 이 부분의 본문은 오일러 직선입니다.

삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

사각형

 이 부분의 본문은 내접 사각형입니다.

(볼록) 사각형 ${\displaystyle ABCD}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 내접 사각형이다. (즉, 외접원을 갖는다.)
• (두 대각의 합은 ${\displaystyle 180^{\circ }}$) ${\displaystyle \angle BAD+\angle BCD=180^{\circ }}$
• (원주각) ${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB}$
• (방멱 정리) 두 대각선 ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle BD}$의 교점을 ${\displaystyle E}$라고 할 때, ${\displaystyle EA\cdot EC=EB\cdot ED}$
• (프톨레마이오스 정리) ${\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD}$

미켈 정리

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 직선 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$ 위의 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 주어졌다고 하자. 미켈 정리(영어: Miquel theorem)에 따르면, 삼각형 ${\displaystyle AEF}$, ${\displaystyle BFD}$, ${\displaystyle CDE}$의 외접원은 한 점 ${\displaystyle P}$에서 만난다. 이 경우 점 ${\displaystyle P}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$의 미켈 점(영어: Miquel point)이라고 한다. 만약 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 ${\displaystyle DEF}$를 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 한 미켈 삼각형(영어: Miquel triangle)이라고 한다.

증명:

편의상 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$ 위의 점이며, 삼각형 ${\displaystyle AEF}$, ${\displaystyle BFD}$의 외접원의 다른 한 교점 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 ${\displaystyle AEPF}$, ${\displaystyle BDPF}$는 내접 사각형이므로

${\displaystyle \angle CEP=\angle AFP=\angle BDP}$

이다. 따라서 사각형 ${\displaystyle CDPE}$ 역시 내접 사각형이다.

네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 직선 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$ 위의 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ 및 점 ${\displaystyle P}$에 대하여, 삼각형 ${\displaystyle DEF}$가 점 ${\displaystyle P}$의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 유향각 ${\displaystyle \angle PFA}$, ${\displaystyle \angle PDB}$, ${\displaystyle \angle PEC}$의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형 ${\displaystyle ABC}$ 및 직선 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$ 위의 점 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$ 및 미켈 점 ${\displaystyle P}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.^{[1]:133, §VII.186}

${\displaystyle \angle BPC=\angle BAC+\angle EDF}$

${\displaystyle \angle CPA=\angle CBA+\angle FED}$

${\displaystyle \angle APB=\angle ACB+\angle DFE}$

여기서 모든 각도는 유향각이다.

증명:

편의상 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle F}$가 변 ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$, ${\displaystyle AB}$ 위의 점이며, 삼각형 ${\displaystyle AEF}$, ${\displaystyle BFD}$의 외접원의 다른 한 교점 ${\displaystyle P}$가 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 ${\displaystyle BDPF}$, ${\displaystyle CDPE}$는 내접 사각형이므로

${\displaystyle \angle BPC=\angle BPD+\angle DPC=\angle BFD+\angle DEC=\angle BAC+\angle EDF}$

이다.

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 모든 미켈 삼각형은 ${\displaystyle P}$를 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.^{[1]:134, §VII.188}

증명:

위 등식에 따라 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대한 점 ${\displaystyle P}$의 미켈 삼각형 ${\displaystyle DEF}$의 세 내각의 크기

${\displaystyle \angle EDF=\angle BPC-\angle BAC}$

${\displaystyle \angle FED=\angle CPA-\angle CBA}$

${\displaystyle \angle DFE=\angle APB-\angle ACB}$

는 미켈 삼각형 ${\displaystyle DEF}$의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한

${\displaystyle \angle PDE=\angle PCA}$

${\displaystyle \angle PEF=\angle PAB}$

${\displaystyle \angle PFD=\angle PBC}$

역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 ${\displaystyle P}$를 고정점으로 갖는다.

키페르트 포물선과의 관계

삼각형의 모든 내접 포물선의 초점은 외접원 위의 점이다.^{[2]:47, §5.5} 특히 삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명:

내접 포물선의 초점 ${\displaystyle F}$가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 ${\displaystyle F}$를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점 ${\displaystyle F}$를 지나는, 포물선 위 임의의 점 ${\displaystyle P}$에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 ${\displaystyle V}$에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

점 ${\displaystyle P}$ 또는 초점 ${\displaystyle F}$를 지나는 준선의 수선의 발을 ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$라고 하고, 꼭짓점 ${\displaystyle V}$에서의 접선과 ${\displaystyle DF}$의 교점을 ${\displaystyle M}$이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 ${\displaystyle V}$는 선분 ${\displaystyle EF}$의 중점이며, ${\displaystyle VM}$과 ${\displaystyle DE}$는 평행하므로 ${\displaystyle M}$은 선분 ${\displaystyle DF}$의 중점이다. ${\displaystyle PD=PF}$이므로 ${\displaystyle PM}$은 ${\displaystyle DF}$의 수선이자 ${\displaystyle \angle DPF}$의 이등분선이다. 이에 따라 광선 ${\displaystyle FP}$가 직선 ${\displaystyle PM}$에 반사된 광선은 ${\displaystyle DP}$의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 ${\displaystyle FP}$가 포물선에 반사된 광선은 ${\displaystyle DP}$의 연장선이므로, ${\displaystyle PM}$은 포물선의 ${\displaystyle P}$에서의 접선이다.

같이 보기

• 내접원
• 아폴로니오스의 문제

각주

1. Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. 
2. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumcircle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumcenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Circumradius”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel’s theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel point”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel triangle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Miquel circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.