오일러 삼각형 정리

오일러 삼각형 정리와 그에 필요한 보조선, 보조점들

기하학에서 오일러 삼각형 정리(Euler三角形定理, 영어: Euler's triangle theorem)는 삼각형의 외심과 내심 사이의 거리를 외접원과 내접원의 반지름을 통해 나타내는 정리이다.

정의

주어진 삼각형의 외접원의 반지름을 ${\displaystyle R}$, 내접원의 반지름을 ${\displaystyle r}$라고 하고, 외심과 내심 사이의 거리를 ${\displaystyle d}$라고 하자. 오일러 삼각형 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$

특히, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

${\displaystyle R\geq 2r}$

이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 정삼각형이다.

증명

삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외심을 ${\displaystyle O}$, 내심을 ${\displaystyle I}$라고 하고, ${\displaystyle I}$를 지나는 외접원의 지름을 ${\displaystyle XY}$라고 하자. ${\displaystyle \angle A}$의 이등분선의 연장선과 외접원의 교점을 ${\displaystyle M}$이라고 하고, ${\displaystyle MO}$의 연장선과 외접원의 교점을 ${\displaystyle D}$라고 하자. ${\displaystyle I}$를 지나는 ${\displaystyle AC}$의 수선의 발을 ${\displaystyle E}$라고 하자. 그렇다면 방멱 정리에 의하여

${\displaystyle AI\cdot IM=XI\cdot YI=(R-d)(R+d)=R^{2}-d^{2}}$

이며, 또한 맨션 정리에 의하여 ${\displaystyle BM=IM}$이다. 삼각형 ${\displaystyle AEI}$와 ${\displaystyle DBM}$을 생각할 때, 호 ${\displaystyle BM}$의 원주각의 성질에 의하여

${\displaystyle \angle BDM=\angle BAM=\angle EAI}$

이고, ${\displaystyle DM}$은 지름이므로

${\displaystyle \angle DBM=90^{\circ }=\angle AEI}$

이다. 따라서 이 두 삼각형은 서로 닮음이며, 특히

${\displaystyle AI\cdot BM=DM\cdot EI=2Rr}$

가 성립한다. 이 결과들을 연립하면

${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}$

를 얻는다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Euler triangle formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.