삼각형

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삼각형
변과 각의 수	3
내각의 합	180°

삼각형
삼각형
모서리들과 꼭짓점	3
슐레플리 기호	{3} (정삼각형의 경우)
면적	다양한 방법이 존재; #넓이
내각 (도)	60° (정삼각형의 경우)

삼각형(三角形, 세모꼴)은 세 개의 점과 세 개의 선분으로 이루어진 다각형이다. 삼각형의 세 점을 꼭짓점이라 하고, 선분을 변(邊)이라고 한다.

종류

삼각형의 종류

일반적인 삼각형 이등변삼각형 직각삼각형 직각이등변삼각형 정삼각형 둔각삼각형 예각삼각형

넓이

밑변의 길이와 높이를 알 때

밑변의 길이가 ${\displaystyle a}$이고, 높이가 ${\displaystyle h_{a}}$인 삼각형의 넓이는 다음과 같다. (기본 공식)

${\displaystyle S={\frac {ah_{a}}{2}}}$

삼각함수 공식

세 변의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c 이고, ${\displaystyle k={\frac {a+b+c}{2}}}$ 일 때 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다. (헤론의 공식)

${\displaystyle S={\sqrt {k(k-a)(k-b)(k-c)}}}$

두 변과 끼인각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {bc\sin A}{2}}={\frac {ca\sin B}{2}}={\frac {ab\sin C}{2}}}$

한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

세 변의 길이가 각각 a, b, c이고, 세 각의 크기가 각각 A, B, C인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {a^{2}\sin B\sin C}{2\sin(B+C)}}={\frac {b^{2}\sin C\sin A}{2\sin(C+A)}}={\frac {c^{2}\sin A\sin B}{2\sin(A+B)}}}$

세 변의 길이와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$이고, 내접원의 반지름이 ${\displaystyle r}$이며, ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

${\displaystyle \ S=rs}$

세 변의 길이와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$이고, 외접원의 반지름이 ${\displaystyle R}$인 삼각형의 넓이 ${\displaystyle S}$는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {abc}{4R}}}$

세 변의 길이와 방접원의 반지름 중 하나의 길이를 알 때

세 변의 길이가 각각 ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 ${\displaystyle r_{a}}$, ${\displaystyle r_{b}}$, ${\displaystyle r_{c}}$이며, ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

${\displaystyle \ S=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$

세 각의 크기와 내접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$이고, 내접원의 반지름이 ${\displaystyle r}$인 삼각형의 넓이 ${\displaystyle S}$는 다음과 같다.

${\displaystyle S=r^{2}\left(\cot {\frac {A}{2}}+\cot {\frac {B}{2}}+\cot {\frac {C}{2}}\right)}$

세 각의 크기와 외접원의 반지름의 길이를 알 때

세 각의 크기가 각각 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$이고, 외접원의 반지름이 ${\displaystyle R}$인 삼각형의 넓이 ${\displaystyle S}$는 다음과 같다.

${\displaystyle S=2R^{2}\cdot \sin A\sin B\sin C}$

내접원과 모든 방접원의 반지름의 길이를 알 때

내접원의 반지름이 ${\displaystyle r}$이고, A, B, C와 반대편에 있는 방접원의 반지름이 각각 ${\displaystyle r_{a}}$, ${\displaystyle r_{b}}$, ${\displaystyle r_{c}}$인 삼각형의 넓이 S는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}}$

2차원 직교좌표

2차원 직교좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(x₁,y₁),(x₂,y₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}}$

2차원 극좌표

2차원 극좌표에서 세 점의 좌표가 (0,0),(r₁,θ₁),(r₂,θ₂)인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {|r_{1}\cos \theta _{1}r_{2}\sin \theta _{2}-r_{2}\cos \theta _{2}r_{1}\sin \theta _{1}|}{2}}={\frac {r_{1}r_{2}\sin(|\theta _{1}-\theta _{2}|)}{2}}}$

n차원 좌표 공간

한 점을 두 벡터의 시점으로 하고 각각 다른 벡터를 종점으로 하는 두 벡터를 ${\displaystyle {\vec {X}},{\vec {Y}}}$ 라 하자. 2보다 크거나 같은 n차원 유클리드 공간에서 표현된 삼각형의 넓이를 ${\displaystyle S_{n}}$라 하면

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2}}{\sqrt {(\left|{\vec {X}}\right|\left|{\vec {Y}}\right|)^{2}-({\vec {X}}\cdot {\vec {Y}})^{2}}}}$

이 표현을 성분으로 바꾸어서 표현하여 ${\displaystyle {\vec {X}}=(x_{1}\,,x_{2}\,,x_{3}\,,...\,,x_{n}),\ {\vec {Y}}=(y_{1}\,,y_{2}\,,y_{3}\,,...\,,y_{n})}$ 라 하면 다음과 같은 표현이 가능하다.

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\begin{vmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{vmatrix}}^{2}}}}$

벡터의 증명은 사인을 이용한 삼각형 넓이 공식과 벡터의 내적을, 성분의 증명은 귀납법을 통해서 증명 가능하다.

성분의 증명에서 ${\displaystyle n=2}$ 인 경우가 #2차원 직교좌표가 된다.

정삼각형

한 변의 길이가 ${\displaystyle a}$인 정삼각형의 넓이는 다음과 같다.

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$

성질

유클리드 기하학

다음의 성질은 유클리드 기하학에서 성립한다.

• 세 내각의 합은 180도이다. 단, 쌍곡면, 구면, 타원면 등에서는 이 법칙이 적용되지 않는다.비유클리드 기하학 문서 참고.
• 삼각형의 어떤 각의 외각은 그 각을 제외한 다른 두 각의 합과 같다.
• 그 어떤 삼각형도 어느 한 변의 길이가 나머지 두 변의 길이를 합한 것보다 길거나 같을 수 없다. 예를 들어, 각 변의 길이가 2cm, 3cm, 5cm인 삼각형이나 각 변의 길이가 3cm, 4cm, 10cm인 삼각형 등은 성립할 수 없다.
• 중점연결정리
• 피타고라스의 정리
• 사인 법칙
• 코사인 법칙
• 체바 정리/메넬라오스 정리

비유클리드 기하학

지구 위에 그려진 직각삼각형의 예

비유클리드 기하학에서는 삼각형의 내각의 합이 180도가 되지 않는다. 오른쪽 그림은 지구 위에 직각삼각형을 그릴 경우 내각의 합이 180도를 초과함을 보여준다.

기타 성질

삼각형의 합동 조건

삼각형의 합동 조건에는 대표적인 4가지가 있다.

• SSS 합동: 모든 변의 길이가 같을 때, 삼각형은 서로 합동이다. 변의 길이만으로 모양이 확정되는 다각형은 오직 삼각형밖에 없다.
• SAS 합동: 두 변과 한 끼인각을 아는 경우. (두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 각을 알 경우 두 가지 경우가 생기기 때문에 합동이 아닐 수 있다. 이 때, 둘 다 예각삼각형, 또는 직각삼각형, 또는 둔각삼각형이면 합동이다.)
• ASA 합동: 두 각과 그 사이의 변의 길이를 아는 경우.
• AAS 합동: 두 각과 이웃한 변의 길이를 아는 경우. 삼각형의 내각의 합이 180도라는 것과 ASA 합동으로부터 나온다.

• RHS 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 변의 길이가 같은 경우.
• RHA 합동: 한 각이 직각이고 빗변과 다른 한 각의 크기가 같은 경우.

같이 보기

• 삼각형의 오심
• 역삼각형
• 삼각법