분해 불가능 대상

범주론에서 분해 불가능 대상(分解不可能對象, 영어: indecomposable object)은 더 작은 대상들의 쌍대곱으로 나타낼 수 없는 대상이다.

정의

시작 대상 ${\displaystyle 0\in {\mathcal {C}}}$ 및 모든 쌍대곱을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 분해 불가능 대상(영어: indecomposable object)이라고 한다.

• 임의의 대상들의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ 및 동형 ${\displaystyle \coprod _{i\in I}X_{i}\colon X}$에 대하여, ${\displaystyle X\cong X_{i_{0}}}$이며 ${\displaystyle X_{i}\cong 0\forall i\in I\setminus \{i_{0}\}}$가 되는 ${\displaystyle i_{0}\in I}$가 유일하게 존재한다.

여기서 ${\displaystyle \textstyle \coprod }$는 쌍대곱을 뜻한다.

마찬가지로, 끝 대상 ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}$ 및 모든 곱을 갖는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 대상 ${\displaystyle X}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 쌍대 분해 불가능 대상(영어: coindecomposable object)이라고 한다.

• 임의의 대상들의 집합 ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$ 및 동형 ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}\colon X}$에 대하여, ${\displaystyle X\cong X_{i_{0}}}$이며 ${\displaystyle X_{i}\cong 1\forall i\in I\setminus \{i_{0}\}}$가 되는 ${\displaystyle i_{0}\in I}$가 유일하게 존재한다.

여기서 ${\displaystyle \textstyle \prod }$는 곱을 뜻한다.

예

집합

집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서, 분해 불가능 대상은 한원소 집합이다.

준층

작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 주어졌을 때, 준층 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}$ 속의 대상 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:Proposition 1.5}

• 분해 불가능 대상이며, 사영 대상이다.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에서 어떤 표현 가능 준층 ${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}(-,X)}$으로 가는 분할 단사 사상 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \hom _{\mathcal {C}}(-,X)}$이 존재한다.

가군

환 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, 분해 불가능 왼쪽 가군(영어: indecomposable left module)은 ${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 범주 ${\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} }$의 분해 불가능 대상이다. (오른쪽 가군에 대해서도 마찬가지로 정의할 수 있다.) 즉, ${\displaystyle M=M'\oplus M''}$와 같은 꼴로 분해할 수 없는 가군을 뜻한다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 가군이다.
• 영가군이 아니며, 자기 사상환 ${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M,_{R}M)}$의 모든 멱등원은 0 또는 1이다.

이는 만약 자기 사상환 ${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M,_{R}M)}$의 멱등원 ${\displaystyle f\colon M\to M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle M=\ker f\oplus \operatorname {im} f}$가 되기 때문이다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 유한한 길이를 갖는다.
• 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
• 합성열을 갖는다.

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 유한한 길이를 갖는다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 가군이다.
• 영가군이 아니며, 자기 사상환 ${\displaystyle \operatorname {End} (_{R}M,_{R}M)}$은 국소환이다.
• (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다.

이는 자기 사상 ${\displaystyle f\colon M\to M}$이 주어졌을 때, 충분히 큰 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle M=\ker f^{k}\oplus \operatorname {im} f^{k}}$임을 보여 증명할 수 있다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 가군(=벡터 공간)의 경우, 분해 불가능 벡터 공간은 1차원 벡터 공간과 동치이다.

모든 왼쪽 아르틴 가군은 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군들의 직합과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle _{R}M}$이 유한한 길이를 갖는다면, ${\displaystyle M}$을 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 ${\displaystyle M}$이 유한 개의 분해 불가능 왼쪽 가군의 직합 ${\displaystyle M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{r}}$ 및 ${\displaystyle N_{1}\oplus \cdots \oplus N_{s}}$와 동형이라면, ${\displaystyle r=s}$이며, ${\displaystyle M_{i}\cong N_{j(i)}\forall i\in \{1,\dots ,r\}}$인 ${\displaystyle j\in \operatorname {Sym} (r)}$가 존재한다.

모든 단순 가군은 분해 불가능 가군이다. 그러나 단순 가군이 아닌 분해 불가능 가군이 존재한다.

군

군에 대하여 가군과 유사한 결과들이 존재한다.

군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 쌍대 분해 불가능 군이다. 즉, 군의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$의 쌍대 분해 불가능 대상이다. 즉, 만약 ${\displaystyle G\cong H\times K}$라면, ${\displaystyle H=1}$과 ${\displaystyle K=1}$ 가운데 정확히 하나가 성립한다.
• 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는, 자기 사상 모노이드 ${\displaystyle \operatorname {End} (G)}$의 멱등원은 0 또는 1이다. (여기서 0은 모든 원소를 군의 항등원으로 대응시키는 자기 사상 ${\displaystyle g\mapsto 1}$이다.)

군 ${\displaystyle G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족한다.
• 주합성열을 갖는다.

군 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 쌍대 분해 불가능 군이다.
• 자명군이 아니며, 임의의 두 자기 사상 ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {End} (G)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \phi }$와 ${\displaystyle \psi }$가 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하며, ${\displaystyle \phi (G)}$의 원소와 ${\displaystyle \psi (G)}$의 원소가 가환하며, ${\displaystyle \phi }$와 ${\displaystyle \psi }$가 자기 동형 사상이 아니라면, 자기 사상 ${\displaystyle \phi +\psi \colon g\mapsto \phi (g)\psi (g)}$ 역시 자기 동형 사상이 아니다.^{[2]:156, Corollary 2}
• (피팅 보조정리, 영어: Fitting lemma) 모든 내부 자기 동형 사상과 가환하는 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이거나 멱영 함수이다. (여기서 멱영 함수는 충분히 거듭 합성하면 0이 되는 함수를 뜻한다.)^{[2]:156, Corollary 1}

군 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle G}$는 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군의 직접곱과 동형이다. 크룰-슈미트 정리(영어: Krull-Schmidt theorem)에 따르면, 군 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군의 (포함 관계에 대한) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건 및 내림 사슬 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle G}$를 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱으로 나타내는 방법은 유일하다. 즉, 만약 ${\displaystyle G}$가 유한 개의 쌍대 분해 불가능 군들의 직접곱 ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{r}}$ 및 ${\displaystyle H_{1}\times \cdots \times H_{s}}$와 동형이라면, ${\displaystyle r=s}$이며, ${\displaystyle G_{i}\cong H_{j(i)}\forall i\in \{1,\dots ,r\}}$인 ${\displaystyle j\in \operatorname {Sym} (r)}$가 존재한다.^{[2]:156–157}

참고 문헌

1. Moerdijk, I.; van Oosten, J. (2007). “Topos theory” (PDF) (영어). 
2. Jacobson, Nathan (1951). 《Lectures in abstract algebra. I. Basic concepts》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 30. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4684-7301-8. ISBN 978-1-4684-7303-2. ISSN 0072-5285. MR 0392227. Zbl 0326.00001. 

외부 링크

• “indecomposable object”. 《nLab》 (영어). 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Indecomposable module”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Directly indecomposable group”. 《Groupprops》 (영어). 
• “Krull-Remak-Schmidt theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.