준층

범주론에서, 범주에 대한 준층 ${\displaystyle C}$는 함자 ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$이다. ${\displaystyle C}$가 위상 공간에서 열린 집합들의 부분 순서 집합이고 범주로 해석되면, 위상 공간에서 일반적인 준층 개념을 의미한다.

준층들의 사상은 함자의 자연 변환으로 정의된다. 이렇게 하면 ${\displaystyle C}$ 위에서 범주로 가는 모든 준층들의 모임이 만들어지며, 이는 함자 범주의 예이다. 기호로 ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$로 나타낸다.

C의 일부 대상 A에 대해 반변형 hom-함자 Hom(–, A )과 자연 동형 인 준층을 표현 가능한 준층이라고 한다.

일부 저자는 함자 ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$를 ${\displaystyle \mathbf {V} }$ - 값 준층으로 정의한다.^[1]

예

• 단체 집합은 단체 범주 ${\displaystyle C=\Delta }$의 집합 값 준층이다.

성질

• ${\displaystyle C}$가 작은 범주일 때, 함자 범주 ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$는 데카르드 닫힌 범주이다.
• ${\displaystyle P}$의 부분 대상의 부분 순서 집합은 ${\displaystyle P}$가 작은 ${\displaystyle C}$에 대해 ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$의 대상일 때 헤이팅 대수를 형성한다.
• ${\displaystyle {\widehat {C}}}$의 모든 사상 ${\displaystyle f:X\to Y}$에 대해, 부분 대상의 당김 함수 ${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)}$는 ${\displaystyle \forall _{f}}$로 나타내는 오른쪽 수반 함자와 왼쪽 수반 함자 ${\displaystyle \exists _{f}}$를 가진다. 이들은 보편적이고 실존적인 양화사이다.
• 국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle C}$는 ${\displaystyle C}$의 모든 대상 ${\displaystyle A}$를 hom 함자 ${\displaystyle C(-,A)}$와 연결짓는 요네다 매장을 통해 집합 값 준층 ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ 범주에 충만하고 충실하게 매장된다.
• 범주 ${\displaystyle {\widehat {C}}}$는 작은 극한과 작은 여극한을 인정한다.^[2] 자세한 내용은 준층의 극한 및 여극한 참조.
• 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다. 사실, ${\displaystyle {\widehat {C}}}$는 ${\displaystyle C}$의 여극한 완비이다. (아래의 보편 성질 참조.)

보편 성질

${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$ 구성은 다음 보편 성질 때문에 C의 여극한 완비라고 한다.  명제^[3]

${\displaystyle C,D}$가 범주들이고 ${\displaystyle D}$가 작은 여극한들을 허용한다고 하자. 그러면, 각 함자 ${\displaystyle \eta :C\to D}$는

${\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}$

로 함자화 된다. 여기서 ${\displaystyle y}$는 요네다 매장이고 ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$은, 동형 사상에 대해 유일한, ${\displaystyle \eta }$의 요네다 확장으로 불리는 여극한 보존 함자이다.

증명 : 조밀성 정리에 의해 준층 ${\displaystyle F}$가 주어지면 ${\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}}$이다. 여기서 ${\displaystyle U_{i}}$는 C의 대상이다. 그러면 ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i}}$이라 하자. 이는 가정에 의해 존재한다. ${\displaystyle \varinjlim -}$는 함자성을 가지므로 함자 ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$를 결정한다. 간결하게, ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$은 ${\displaystyle y}$를 따른 ${\displaystyle \eta }$의 왼쪽 칸 확대이다. ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$가 작은 여극한들과 가환임을 보이기 위해, ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ 일부 함자에 대해 왼쪽 인접임을 보이자. ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}$를 ${\displaystyle D}$의 각 대상 ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle C}$의 각 대상 ${\displaystyle U}$에 대해

${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).}$

로 주어진 함자로 정의하자. 그러면, ${\displaystyle D}$의 각 대상 ${\displaystyle M}$에 대해 ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))}$ 이므로, 요네다 보조정리에 의해 다음을 얻는다:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M))\end{aligned}}}$

말하자면 ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}$에 왼쪽 인접이다. ${\displaystyle \square }$

이 명제는 몇 가지 따름 정리들을 산출한다. 예를 들어, 이 명제는 ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}}$ 구성은 함자적이다: 즉, 각 함자 ${\displaystyle C\to D}$는 함자 ${\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}$를 결정한다.

변형들

${\displaystyle \infty }$-범주 ${\displaystyle C}$위의 공간들의 준층은 ${\displaystyle C}$에서 공간 ${\displaystyle \infty }$-범주로 가는 반공변 함자이다(예: CW-복합체 범주의 신경)^[4] 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 범주 버전이다. 이 개념은 무엇보다도 다음과 같이 말하는 요네다 보조정리의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. :${\displaystyle C\to PShv(C)}$는 완전히 충실하다.(여기서 ${\displaystyle C}$는 단체 집합일 수 있다.)^[5]

같이 보기

• 토포스
• 원소들의 범주
• 단체 준층 (이 개념은 "집합"을 "단체 집합"으로 대체하여 얻음)
• 전송이 포함된 준층

각주

1. “co-Yoneda lemma”. 《nLab》 (영어). 
2. Kashiwara & Schapira 2005, Corollary 2.4.3. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFKashiwaraSchapira2005 (help)
3. Kashiwara & Schapira 2005, Proposition 2.7.1. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFKashiwaraSchapira2005 (help)
4. Lurie, Definition 1.2.16.1. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFLurie (help)
5. Lurie, Proposition 5.1.3.1. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFLurie (help)

참고 문헌

• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2005). 《Categories and sheaves》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 332. Springer. ISBN 978-3-540-27950-1. 
• Lurie, J. 《Higher Topos Theory》. 
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). 《Sheaves in Geometry and Logic》. Springer. ISBN 0-387-97710-4. 

추가 자료

• “Presheaf”. 《nLab》 (영어). 
• “Free cocompletion”. 《nLab》 (영어). 
• Daniel Dugger, Sheaves and Homotopy Theory, the pdf file provided by nlab.